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En effet, la valeur générale de $v$ étant

$v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y+a_{2}e^{-3{\frac {\pi }{2}}x}\cos .3{\frac {\pi }{2}}y+a_{3}e^{-5{\frac {\pi }{2}}x}\cos .5{\frac {\pi }{2}}y+$etc.

lorsque x devient une quantité de plus en plus grande, chacun des termes de cette valeur devient extrêmement petit par rapport à celui qui le précède ; car les quantités $a_{1},a_{2},a_{3},$ etc., étant une fois déterminées, ne varient point avec $x.$ Il s’ensuit que si $x$ est infini, la valeur de $v$ se réduit à $v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y.$ Par conséquent la surface qui correspond à la question est terminée dans tous les cas par une nappe infinie, qui est la surface particulière que nous venons de considérer. La figure de la section à l’origine n’influe point sur la nature de cette nappe infinie, elle détermine seulement la forme de la surface vers l’origine. Ainsi, quelles que soient les températures permanentes des différents points de l’arête $\mathrm {Y} ,$ la chaleur se propage à l’infini dans la partie extrême de la lame suivant la loi que l’on a décrite plus haut, et qui convient au cas particulier où la surface a pour équation

$v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y.$

Si l’on conçoit que cette dernière surface est construite, et qu’on la compare à la surface plus générale, qui a lieu lorsque les températures des points de la première arête sont représentées par une fonction quelconque de $y,$ on reconnaitra que ces deux surfaces tendront de plus en plus à se confondre, et ont une nappe asymptotique commune.