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Nous venons de remarquer que les termes dont la valeur générale de la fonction $v$ se compose, ne peuvent pas être choisis arbitrairement, et que la forme que l’on doit donner à l’intégrale dérive en quelque sorte de la nature physique de la question. Quant au nombre des termes qui entrent dans la valeur de $v,$ il dépend de l’espèce de la courbe qui représente les températures à l’origine. Il y a des cas particuliers où quelques-uns de ces termes suffisent. En général ce nombre est indéterminé, et on doit le regarder comme infini, parce que la fonction $\psi y$ est arbitraire.

17. Il nous reste à déterminer les constantes $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},$ etc., qui entrent dans l’équation générale 1.

$v=a_{1}e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y+a_{2}e^{-3{\frac {\pi }{2}}x}\cos .3{\frac {\pi }{2}}y+a_{3}e^{-5{\frac {\pi }{2}}x}\cos .5{\frac {\pi }{2}}y+$etc.

On traitera en premier lieu le cas qui se rapporte à la question présente, où tous les points de la première arète ont une température commune $1.$ 2

La condition qui sert à déterminer ces coëfficients, que l’on désignera par $a,b,c,d,$ etc., consiste en ce que l’abscisse $x$ étant supposée nulle, la valeur du second membre doit être égale à l’unité, quelle que soit la valeur de $y$ comprise entre $1$ et $-1.$ On doit donc avoir

$1=a\cos .{\frac {\pi }{2}}y+b\cos .3{\frac {\pi }{2}}y+c\cos .5{\frac {\pi }{2}}y+d\cos .7{\frac {\pi }{2}}y+$etc.;

ou supposant ${\frac {1}{2}}\pi y=u,$ $u$ devant ètre comprise entre ${\frac {1}{2}}\pi$ et $-{\frac {1}{2}}\pi ,$

$1=a\cos .u+b\cos .3u+c\cos .5u+d\cos .7u+$etc.;