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En continuant l’élimination, on obtiendra l’équation finale en $a,$ qui est :

$a\left(13^{2}-1^{2}\right)\left(11^{2}-1^{2}\right)\left(9^{2}-1^{2}\right)\left(7^{2}-1^{2}\right)\left(5^{2}-1^{2}\right)\left(3^{2}-1^{2}\right)$

$=13^{2}.11^{2}.9^{2}.7^{2}.5^{2}.3^{2}.1^{2}.$

Si l’on avait employé un nombre d’équations plus grand d’une unité, on aurait trouvé pour déterminer $a$ une équation analogue à la précédente, ayant au premier membre un facteur de plus, savoir $\left(15^{2}-1^{2}\right),$ et au second membre $15^{2}$ pour nouveau facteur. La loi à laquelle ces différentes valeurs de $a$ sont assujetties est évidente ; et il s’ensuit que la valeur de $a,$ qui correspond à un nombre infini d’équations, est exprimée ainsi :

$a={\frac {\quad 3^{2}\quad .\quad \ 5^{2}\ \quad \ .\quad \ 7^{2}\quad \ \ \ .\quad \ 9^{2}\ \ \quad \ .\quad \ 11^{2}\quad \ .\quad \ 13^{2}\ldots }{\left(3^{2}-1^{2}\right)\left(5^{2}-1^{2}\right)\left(7^{2}-1^{2}\right)\left(9^{2}-1^{2}\right)\left(11^{2}-1^{2}\right)\left(13^{2}-1^{2}\right)\ldots }},$

ou

$a={\frac {3.3\ .\ 5.5\ .\ 7.7\ .\ \ \ 9.9\ \ \ .\ 11.11\ .\ 13.13\ldots }{4.4\ .\ 6.6\ .\ 8.8\ .\ 10.10\ .\ 12.12\ .\ 14.14\ldots }}.$

Or cette dernière est connue, et, suivant le théorème de Wallis, on trouve $a={\frac {4}{\pi }}.$ Il s’agit maintenant de connaître les valeurs des autres indéterminées $b,\,c,\,d,$ etc.

Les six équations qui restent après l’élimination de $g,$ peuvent être comparées aux six équations plus simples que l’on aurait employées, s’il n’y avait eu que six inconnues. Ces dernières équations different des précédentes, en ce que dans ces dernières les lettres f,\,c,\,d,\,c,\,b,\,a se trouvent multipliées respectivement par les facteurs

${\frac {13^{2}-11^{2}}{13^{2}}},\ \ {\frac {13^{2}-9^{2}}{13^{2}}},\ \ {\frac {13^{2}-7^{2}}{13^{2}}},\ \ {\frac {13^{2}-5^{2}}{13^{2}}},\ \ {\frac {13^{2}-3^{2}}{13^{2}}},\ \ {\frac {13^{2}-1^{2}}{13^{2}}}.$

Il suit de là que si l’on avait résolu les six équations linéaires