termes qui entrent dans son expression. On peut donc la considérer comme une fonction de
et de
étant le nombre des termes.
Soit
la fonction cherchée qui est donnée par l’équation
![{\displaystyle y=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9324e60dea3a482efb91c06833482c95309e6132)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2m-1}}\cos .(2m-1)x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56f5657b9bee14c5137ada3d0f0ba9821d514e76)
le nombre
des termes étant supposé pair. En différentiant cette équation par rapport à
on aura.
![{\displaystyle -{\frac {y}{x}}=\sin .x-\sin .3x+\sin .5x-\sin .7x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3243be693e50aed2c4b1f481ebcd4b386257d1e1)
![{\displaystyle +\sin .(2m-3)x-\sin .(2m-1)x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628305f9f262f0d8338c5adda800f94b4306aa85)
On multipliera chaque terme par
afin qu’il devienne un produit de sinus, qu’on pourra remplacer par la différence de deux cosinus ; et l’on aura ainsi, après les réductions,
![{\displaystyle 2{\frac {dy}{dx}}={\frac {sin.2m.x}{\cos .x}},\quad {\text{ou}}\quad y={\frac {1}{2}}\int dx{\frac {sin.2m.x}{\cos .x}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e254b33dedb0ea50c9e89f400126b18363ed6778)
On intégrera le second membre par parties, en distinguant dans l’intégrale
la quantité
qui doit être intégrée successivement, et la quantité
ou
que l’on doit différentier successivement. Désignant les résultats de ces différentiations successives par
etc., on aura
![{\displaystyle y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2m}}\cos .2mx\sec .x+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\cos .2mx\sec .'x-{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\cos .2mx\sec .''x+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e0a754cc00cb97c8289fbd7398607c8e012d61)