derniers termes dont le nombre est infini. On a vu plus haut que l'équation
![{\displaystyle y=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9324e60dea3a482efb91c06833482c95309e6132)
![{\displaystyle +{\frac {1}{2m-3}}\cos .(2m-3)x-{\frac {1}{2m-1}}\cos .(2m-1)x,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dcb523b7db81795ad63ce3aa987cc5b1854ebb06)
dans laquelle
représente le nombre de termes, fournit celle-ci :
![{\displaystyle 2{\frac {dy}{dx}}={\frac {\sin .2mx}{\cos .x}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f07156f3a9a28a585c6630c99248cece4d9e98d2)
d’où l’on peut tirer la valeur de
en intégrant par parties. Or l’intégrale
peut être résolue en une série composée d’autant de termes qu’on voudra,
et
étant des fonctions de
On peut écrire, par exemple,
![{\displaystyle \int uv\,dx=\mathrm {C} +u\int vdx-{\frac {du}{dx}}\int dx\int vdx+{\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}\int dx\int dx\int vdx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a98b7013e0f2ecc7eece13dc3f0afdb1752196be)
![{\displaystyle -\int \left[d\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)\int dx\int dx\int vdx\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c2e26bafe58a7bea1764c2f601d9f8f59c01426)
équation qui se vérifie d’elle-même par la différentiation. En désignant
par
et
par
on trouvera
![{\displaystyle 2y=\mathrm {C} -\sec .x\cos .2mx+\sec .'x{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sin .2mx+\sec .''x\cos .2mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5ed347f8f5a9b5f6bdebaf4d60205accb457fa4)
![{\displaystyle -\int \left[d(sec.''x){\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\cos .2mx\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e12e94eb057f905ddeecf52f33d4d4efbae34f2a)
Il s’agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est toujours comprise l’intégrale
qui complète la série. Pour former cette intégrale, il faudrait donner à l’arc une infinité de valeurs depuis ![{\displaystyle 0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/916e773e0593223c306a3e6852348177d1934962)