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derniers termes dont le nombre est infini. On a vu plus haut que l'équation

$y=\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots$

$+{\frac {1}{2m-3}}\cos .(2m-3)x-{\frac {1}{2m-1}}\cos .(2m-1)x,$

dans laquelle $m$ représente le nombre de termes, fournit celle-ci :

$2{\frac {dy}{dx}}={\frac {\sin .2mx}{\cos .x}}\,;$

d’où l’on peut tirer la valeur de $y,$ en intégrant par parties. Or l’intégrale $\int uv\,dx$ peut être résolue en une série composée d’autant de termes qu’on voudra, $u$ et $v$ étant des fonctions de $x.$ On peut écrire, par exemple,

$\int uv\,dx=\mathrm {C} +u\int vdx-{\frac {du}{dx}}\int dx\int vdx+{\frac {d^{2}u}{dv^{2}}}\int dx\int dx\int vdx$

$-\int \left[d\left({\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}\right)\int dx\int dx\int vdx\right],$

équation qui se vérifie d’elle-même par la différentiation. En désignant $sin.2mx$ par $v,$ et $\sec .x$ par $u,$ on trouvera

$2y=\mathrm {C} -\sec .x\cos .2mx+\sec .'x{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sin .2mx+\sec .''x\cos .2mx$

$-\int \left[d(sec.''x){\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\cos .2mx\right].$

Il s’agit maintenant de connaître les limites entre lesquelles est toujours comprise l’intégrale ${\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\int \left[d(\sec .''x)\cos .2mx\right],$ qui complète la série. Pour former cette intégrale, il faudrait donner à l’arc une infinité de valeurs depuis $0.$