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terme où l’intégrale commence, jusqu’à $x,$ qui est la valeur finale de l’arc, déterminer pour chacune des valeurs de $x$ celles de la différentielle $d(\sec .''x),$ et celle du facteur $\cos .2mx,$ et ajouter tous les produits partiels. Or le facteur variable $\cos .2mx$ est nécessairement une fraction positive ou négative ; par conséquent l’intégrale se compose de la somme des valeurs variables de la différentielle $d(\sec .''x),$ multipliées respectivement par des fractions. La valeur totale de cette intégrale est donc moindre que la somme des différentielles $d(\sec .''x),$ prise depuis $x=0$ jusqu’à $x=x,$ et elle est plus grande que cette même somme prise négativement ; car, dans le premier cas, on remplace le facteur variable $\cos .2mx$ par la quantité constante $1\,;$ et dans le second cas, on remplace ce facteur par $-1.$ Or cette somme des différentielles $d(\sec .''x),$ ou, ce qui est la même chose, l’intégrale $\int d(\sec .''x),$ prise depuis $x=0,$ est

$\sec .''x-\sec .''0.$

L’intégrale cherchée est donc comprise entre

$\sec .''.x-\sec .''0\qquad {\text{et}}\qquad -(\sec .''x-\sec .''0).$

c’est-à-dire qu’en représentant par $\mathrm {K}$ une fraction inconnue positive ou négative, on aura toujours

$\int \left[d(\sec .''x)\cos .2mx\right]=\mathrm {K} \left[\sec .''x-\sec .''0\right].$

On parvient ainsi à l’équation

$2y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos 2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx$

$+{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}sec.''x\cos .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(sec.''x-sec.''0)\,;$