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équation dans laquelle la quantité ${\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(sec.''x-sec.''0)$ exprime exactement la somme de tous les derniers termes de la série infinie. Si l'on eut cherché deux termes seulement, on aurait eu l'équation

$2y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx$

$+{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(\sec .''x-\sec .''0).$

Il résulte de la que l’on peut développer la valeur de $y$ en autant de termes que l’on voudra, et exprimer exactement le reste de la série. On trouve ainsi cette suite d’équations :

${\begin{aligned}2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2m}}(\sec .x-\sec .0)\\2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{2}m^{2}}}(\sec .'x-\sec .'0)\\2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx+{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\sec .''x\cos .2mx\\\end{aligned}}$

$+{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(\sec .''x-\sec .''0).$

Le nombre $\mathrm {K} ,$ qui entre dans ces équations, n’est pas le même pour toutes, et il représente dans chacune une certaine quantité qui est toujours comprise entre $1$ et $-1;$ $m$ est egal au nombre des termes qui entrent dans la valeur de $y,$ ou

$\cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots {\frac {1}{2m}}\cos .(2m-1)x.$

On ferait usage de ces équations, si le nombre $m$ était donné, et quelque grand que fût ce nombre, on pourrait déterminer aussi exactement qu’on le voudrait la partie va-