équation dans laquelle la quantité
exprime exactement la somme de tous les derniers termes de la série infinie. Si l'on eut cherché deux termes seulement, on aurait eu l'équation
![{\displaystyle 2y=\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/777be90071b93768e6cc1aa103f0ca50db3e7a3b)
![{\displaystyle +{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(\sec .''x-\sec .''0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37e74f617ad1c906b8ac3b5e69ddf929ca5dad)
Il résulte de la que l’on peut développer la valeur de
en autant de termes que l’on voudra, et exprimer exactement le reste de la série. On trouve ainsi cette suite d’équations :
![{\displaystyle {\begin{aligned}2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2m}}(\sec .x-\sec .0)\\2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx+{\frac {\mathrm {K} }{2^{2}m^{2}}}(\sec .'x-\sec .'0)\\2y=&\mathrm {C} -{\frac {1}{2m}}\sec .x\cos .2mx+{\frac {1}{2^{2}m^{2}}}\sec .'x\sin .2mx+{\frac {1}{2^{3}m^{3}}}\sec .''x\cos .2mx\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a9e343fbde2dac5d4a17c5e5faff1267eae46350)
![{\displaystyle +{\frac {\mathrm {K} }{2^{3}m^{3}}}(\sec .''x-\sec .''0).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c37e74f617ad1c906b8ac3b5e69ddf929ca5dad)
Le nombre
qui entre dans ces équations, n’est pas le même pour toutes, et il représente dans chacune une certaine quantité qui est toujours comprise entre
et
est egal au nombre des termes qui entrent dans la valeur de
ou
![{\displaystyle \cos .x-{\frac {1}{3}}\cos .3x+{\frac {1}{5}}\cos .5x-{\frac {1}{7}}\cos .7x+\ldots {\frac {1}{2m}}\cos .(2m-1)x.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ff3b1deec904ba5726d5ba51c3c289279cc721de)
On ferait usage de ces équations, si le nombre
était donné, et quelque grand que fût ce nombre, on pourrait déterminer aussi exactement qu’on le voudrait la partie va-