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Donc la propagation de la chaleur dans l’intérieur du solide est exprimée par l’équation

${\frac {1}{4}}\pi z=e^{-{\frac {\pi }{2}}x}\cos .{\frac {\pi }{2}}y+{\frac {1}{3}}e^{-3{\frac {\pi }{2}}x}\cos .3{\frac {\pi }{2}}y+{\frac {1}{5}}e^{-5{\frac {\pi }{2}}x}\cos .5{\frac {\pi }{2}}y+$etc ;

Telle est la forme particulière que l’on doit donner à l’intégrale générale de l’équation ${\frac {d^{2}z}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}z}{dy^{2}}}=0,$ pour que la fonction $z$ représente les températures permanentes des différents points du solide.

22. La question de la propagation de la chaleur dans une lame rectangulaire, a conduit (art. 16, page 250) à l’équation ${\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}+{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,$ et si l’on suppose que tous les points de l’extrémité de la lame ont une température commune, il faut déterminer les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots$ qui entrent dans la fonction $a_{1}\cos .u+a_{2}\cos .2u+a_{3}\cos .3u+$ etc., en sorte que la valeur de cette fonction soit égale à une constante toutes les fois que l’arc $u$ est compris entre ${\frac {\pi }{2}}$ et $-{\frac {\pi }{2}}.$ On vient d’assigner la valeur de ces coëfficients, mais on n’a traité qu’un seul cas d’un problème plus général, qui consiste à développer une fonction quelconque en une suite infinie de sinus ou de cosinus d’ares multiples. Cette question est liée à la théorie des équations aux différences partielles, et a été long-temps agitée dès l’origine de cette analyse. Il était nécessaire de la résoudre, pour intégrer convenablement les équations de la propagation de la chaleur. Nous allons en exposer la solution.