Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/639

${\begin{aligned}&a_{4}\ldots \ldots a_{5}(5^{2}-1)\\&b_{4}\ldots \ldots b_{5}(5^{2}-1)\\&c_{4}\ldots \ldots c_{5}(5^{2}-1)\\&d_{4}\ldots \ldots d_{5}(5^{2}-1)\,;\end{aligned}}$

et au lieu de

${\begin{aligned}&\mathrm {A_{4}\ldots \ldots 5^{2}A_{5}-B_{5}} \\&\mathrm {B_{4}\ldots \ldots 5^{2}B_{5}-C_{5}} \\&\mathrm {C_{4}\ldots \ldots 5^{2}C_{5}-D_{5}} \\&\mathrm {D_{4}\ldots \ldots 5^{2}D_{5}-E_{5}} .\end{aligned}}$

On pourra toujours, par des substitutions semblables, passer du cas qui répond à un nombre $m$ d’inconnues, à celui qui répond à un nombre $m+1\,;$ et en écrivant par ordre toutes ces relations entre les quantités qui répondent à l’un des cas et celles qui répondent au suivant, on aura

${\begin{alignedat}{5}(a)\\a_{1}&=a_{2}\left(2^{2}-1\right)\\a_{2}=&a_{3}\left(3^{2}-1\right),&b_{2}=&b_{3}\left(3^{2}-2^{2}\right)\\a_{3}=&a_{4}\left(4^{2}-1\right),&b_{3}=&b_{4}\left(4^{2}-2^{2}\right),&c_{3}=&c_{4}\left(4^{2}-3^{2}\right)\\a_{4}=&a_{5}\left(5^{2}-1\right),&b_{4}=&b_{5}\left(5^{2}-2^{2}\right),&c_{4}=&c_{5}\left(5^{2}-3^{2}\right),&d_{4}=&d_{5}\left(5^{2}-4^{2}\right)\\a_{5}=&a_{6}\left(6^{2}-1\right),\ &b_{5}=&b_{6}\left(6^{2}-2^{2}\right),\ &c_{5}=&c_{6}\left(6^{2}-3^{2}\right),\ &d_{5}=&d_{6}\left(6^{2}-4^{2}\right),\ &e_{5}=&e_{6}\left(6^{2}-5^{2}\right)\\&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

On aura aussi

${\begin{alignedat}{4}\mathrm {A} _{1}=&2\mathrm {A_{2}-B_{2}} \\\mathrm {A} _{2}=&3\mathrm {A_{3}-B_{3}} ,&\mathrm {B} _{2}=&3\mathrm {B_{3}-C_{3}} \\\mathrm {A} _{3}=&4\mathrm {A_{4}-B_{4}} ,&\mathrm {B} _{3}=&4\mathrm {B_{4}-C_{4}} ,&\mathrm {C} _{3}=&4\mathrm {C_{4}-D_{4}} \\\mathrm {A} _{4}=&5\mathrm {A_{5}-B_{5}} ,\ \ &\mathrm {B} _{4}=&5\mathrm {B_{5}-C_{5}} ,\ \ &\mathrm {C} _{4}=&5\mathrm {C_{5}-D_{5}} ,\ \ &\mathrm {D} _{4}=&5\mathrm {D_{5}-E_{5}} ,\\&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.&&{\text{etc}}.\end{alignedat}}$

On conclut des équations (a) qu’en représentant par $a,\,b,\,c,\,d,$ etc. les inconnues dont le nombre est infini, on doit avoir :