dont il est aisé de remarquer la loi. On voit d’abord que la dernière valeur de
contiendra des produits d’un nombre infini de facteurs : mais cette valeur, qui est celle de
doit être divisée par le produit infini
En cherchant la dernière valeur de
et la divisant par le produit infini
on aura
![{\displaystyle \mathrm {A-B} \left({\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+{\frac {1}{5^{2}}}+\ldots \right)+\mathrm {C} \left({\frac {1}{2^{2}.3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.5^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}.4^{2}}}+\ldots \right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5112e9cbcaadec93c99d26fcbe8b00f96fd32d3d)
![{\displaystyle -\mathrm {D} \left({\frac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}.3^{2}.5^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+\ldots \right)+\mathrm {E} \left({\frac {1}{2^{2}.3^{2}.4^{2}.5^{2}}}+\ldots \right)+{\text{etc}}.\quad (g)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7d196028e9d9c14c0568720375fa7fa9782b8bcc)
Les quantités
sont les mêmes que celles qui entrent dans les équations (n). Les coëfficients sont la somme des produits formés par les diverses combinaisons des fractions
dont on aurait séparé la première
Si l’on représente ces différentes sommes de produits par
etc., on aura pour déterminer le premier coëfficient
l’équation
![{\displaystyle a{\frac {\left(2^{2}-1\right)\left(3^{2}-1\right)\left(4^{2}-1\right)\left(5^{2}-1\right)\ldots }{2^{2}\quad .\quad 3^{2}\quad .\quad 4^{2}\quad .\quad 5^{2}\ldots }}=\mathrm {A-BP_{1}+CQ_{1}-DR_{1}+ES_{1}-FT_{1}} +}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5dd86cb1330422744ba7602392fb02fda33332d9)
etc.
Or les quantités
etc. peuvent être facilement déterminées, comme on le verra plus bas ; ainsi le premier coëfficient
sera entièrement connu.
Il faut passer maintenant à la recherche des coëfficients suivants
qui dépendent des quantités
etc. On reprendra pour cela les équations (m).
La première, qui a déjà été employée, donne la valeur de
les deux autres donnent la valeur de
ainsi de suite.