![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \varphi x=a\sin .x+b\sin .2x+c\sin .3x+d\sin .4x+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d041840b674628b66e6533a6f7b1a79ef16a3b04)
On peut aussi vérifier l’équation précédente
en déterminant immédiatement les quantités
dans l’équation
![{\displaystyle \varphi x=a_{1}\sin .x+a_{2}\sin .2x+a_{3}\sin .3x+\ldots +a_{i}\sin .ix+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1934906fbc0b36f75cf1492e6ca86ae8ce910424)
Pour cela, on multipliera chacun des membres de la dernière équation par
étant un nombre entier, et l’on prendra l’intégrale depuis
jusqu’à
on aura, en représentant ces intégrations par le signe ![{\displaystyle \mathrm {S} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9044c1a27dd84b9c1aa9cc2c1b6cd36f3f956ffb)
![{\displaystyle \mathrm {S} \varphi x\sin .ixdx=a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\sin .ixdx)+a_{2}\mathrm {\mathrm {S} } (\sin .2x\sin .ixdx)+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c08ccbdc2907c03e89371cc22b944c03c363c37c)
![{\displaystyle +a_{i}\mathrm {S} (\sin .ix\sin .ixdx)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/803f1f9a03ed6c76f184021b917068983102bacf)
Or on peut facilement prouver, 1o que toutes les intégrales qui entrent dans le second membre ont une valeur nulle, excepté le seul terme
2o que la valeur de
est
d’où on conclura la valeur de
qui est
Ainsi tout se réduit à considérer la valeur des intégrales qui entrent dans le second membre. Or l’intégrale
depuis
jusqu’à
et dans laquelle
et
sont des nombres entiers, est .....
l’intégrale devant commencer lorsque
la constante est nulle, et les nombres
et
étant entiers, la valeur de l’in-