tégrale deviendra nulle lorsqu’on fera
Il s’ensuit que chacun des termes, tels que
![{\displaystyle a_{1}\mathrm {S} (\sin .x\sin .ixdx),\qquad a_{2}\mathrm {S} (\sin .2x\sin .ixdx),\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac5f6e60c149767a983fb55ce65b163bc55813ad)
s’évanouit, et que cela aura lieu toutes les fois que les nombres
et
seront différents. Il n’en est pas de même lorsque les nombres
et
sont égaux, car le terme
auquel se réduit l’intégrale, devient
et sa véritable valeur est
On a par conséquent
On obtient ainsi de la manière la plus briève les valeurs de
qui sont
![{\displaystyle a_{1}={\frac {S(\varphi x\sin .1xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\quad a_{2}={\frac {S(\varphi x\sin .2xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\quad a_{3}={\frac {S(\varphi x\sin .3xdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94914716b0d4772e472d26d334921316d8496779)
![{\displaystyle a_{i}={\frac {S(\varphi x\sin .ixdx)}{{\frac {1}{2}}\pi }},\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b279f36baabb76bd0117edb4ac1b543f2aa69892)
et en les substituant, on a
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi \varphi x=\sin .x\mathrm {S} (\varphi x\sin .xdx)+\sin .2x\mathrm {S} (\varphi x\sin .2xdx)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c98e78685f1e597b0d131d66d7d089392b4cca7)
![{\displaystyle +\sin .3xS(\varphi x\sin .3xdx)+\ldots +\sin .ixS(\varphi x\sin .ixdx)+\ldots .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b036948d76dc79d8b927274c2339f716c580493a)
Le cas le plus simple est celui où la fonction de
donnée a une valeur constante pour toutes les valeurs de la variable
comprise entre
et
dans ce cas, l’intégrale
est égale à
si le nombre
est impair, et égale à
si le nombre
est pair. On en déduit l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+{\frac {1}{7}}\sin .7x+\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/707865ec4df2b6372136b4e25f97682de2dba806)