On peut employer une analyse semblable pour développer une fonction quelconque en séries de cosinus d’arcs multiples. Soit
la fonction dont on demande le développement, on aura
![{\displaystyle \varphi x=a.\cos .0x+a_{1}\cos .1x+a_{2}\cos .2x+\ldots +a_{i}\cos .ix+\ldots \quad (e)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6920ba9a2de3cd8a87062e139ef26d009f9e20d8)
Si on multiplie chacun des deux membres de cette équation par
et que l’on intègre chacun des termes du second membre depuis
jusqu’à
il est facile de s’assurer que la valeur de cette intégrale sera nulle, excepté pour le seul terme qui contient déja
Cette remarque donne immédiatement la valeur du coëfficient
Il suffira en général de considérer la valeur de l’intégrale
![{\displaystyle \int (\cos .mx\cos .nxdx),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eb90e24296fde8b323f7cebd90536f610a70d8c1)
prise depuis
jusqu’à
En supposant que
et
sont des nombres entiers différents, on a
![{\displaystyle \int \cos .mx\cos .nxdx={\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m+n)x+{\frac {1}{2(m+n)}}\sin .(m-n)x+\mathrm {C} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/362f2608cf98db2a816ed52659ad96060b597cba)
Cette intégrale, prise depuis
jusqu’à
est évidemment nulle toutes les fois que
et
sont deux nombres différents. Il n’en est pas de même lorsque ces deux nombres sont égaux ; le dernier terme
devient
et sa véritable valeur est
lorsque l’arc
est égal à
Si donc on multiplie les deux termes de l’équation précédente
par
et que l’on intègre depuis
jusqu’à
on aura
équation qui