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portionnelles aux sinus ou aux cosinus d’un multiple de la distance ${\frac {x}{r}},$ les rapports établis entre ces températures subsistent continuellement pendant la durée infinie du refroidissement ; il en serait de même si les températures initiales étaient représentées par la fonction

$a\sin .{\frac {ix}{r}}+b\cos .{\frac {ix}{r}},$

$i$ étant un nombre entier, $a$ et $b$ des coëfficients quelconques.

Venons maintenant au cas général, dans lequel les températures initiales n’ont point les rapports dont on vient de parler, mais sont représentées par une fonction quelconque $\operatorname {F} x.$ Donnons à cette fonction la forme $\varphi \left({\frac {x}{r}}\right),$ en sorte qu’on ait toujours $\operatorname {F} x=\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)\,;$ et concevons que la fonction $\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)$ est décomposée en une série de sinus et de cosimus d’ares multiples, affectés de coëfficients convenables, en sorte qu’on ait l’équation

$\varphi \left({\frac {x}{r}}\right)=\left\{{\begin{alignedat}{3}a_{0}\sin .0{\frac {x}{r}}&+a_{1}\sin .1{\frac {x}{r}}&&+a_{2}\sin .2{\frac {x}{r}}&&+a_{3}\sin .3{\frac {x}{r}}+\ldots \\b_{0}\cos .0{\frac {x}{r}}&+b_{1}\cos .1{\frac {x}{r}}&&+b_{2}\cos .2{\frac {x}{r}}&&+b_{3}\cos .3{\frac {x}{r}}+\ldots \end{alignedat}}\right\}(\varepsilon ).$

Les coëfficients $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots \,;$ $b_{1},b_{2},b_{3},b_{4},\ldots$ sont regardés comme connus et calcules d’avance, leur nombre étant déterminé ou infini, selon la nature de la courbe qui pond à $\varphi x.$ Il est visible que la valeur de $u$ sera alors représentée par l’équation