Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/686

On connaît maintenant les coëfficients qui entrent dans l’équation générale $(\mathrm {E} ),$ et en les substituant, on a

$\pi z={\frac {e^{-ht}\mathrm {A} }{e^{\pi }+e^{-\pi }}}\left[e^{\pi }-e^{-\pi }+{\frac {2\cos .x}{1^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)e^{-\mathrm {K} t}+{\frac {2\cos .2x}{2^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)e^{-2\mathrm {K} t}+{\text{etc}}.\right]$

Désignant par $\mathrm {M}$ la chaleur moyenne initiale, ou

${\frac {\mathrm {A} \left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)}{\pi \left(e^{\pi }+e^{-\pi }\right)}},$

on a l’équation suivante, qui exprime le mouvement de la chaleur dans un anneau, lorsqu’on expose cet anneau à un courant d’air froid, après qu’il a ete échauffé par un de ses points, et amène ainsi à des températures stationnaires :

$\pi z=2e^{-ht}\mathrm {M} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\cos .x}{1^{2}+1}}e^{-\mathrm {K} t}+{\frac {\cos .2x}{2^{2}+1}}e^{-2^{2}\mathrm {K} t}+{\frac {\cos .3x}{3^{2}+1}}e^{-3^{2}\mathrm {K} t}+{\text{etc}}.\right)$

34. 2^o Pour faire une seconde application de l’équation générale (\mathrm $E),$ nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée, qu’une moitié de l’anneau comprise depuis $0$ jusqu’à $\pi ,$ a dans tous ses points la température $1,$ et que l’autre partie est à la température $0.$ Il s’agit de déterminer l’état de l’anneau après un temps écoulé $t.$

On fera d’abord usage de l’équation qui donne le développement de $\varphi x.$ La fonction arbitraire $\varphi x,$ qui représente l’état initial, est telle dans ce cas, que la chaleur est 1 toutes les fois que la variable est comprise entre $0$ et $\pi .$ Il en résulte que l’on doit supposer $\varphi x=1.$ et ne prendre les intégrales