On connaît maintenant les coëfficients qui entrent dans l’équation générale
et en les substituant, on a
![{\displaystyle \pi z={\frac {e^{-ht}\mathrm {A} }{e^{\pi }+e^{-\pi }}}\left[e^{\pi }-e^{-\pi }+{\frac {2\cos .x}{1^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)e^{-\mathrm {K} t}+{\frac {2\cos .2x}{2^{2}+1}}\left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)e^{-2\mathrm {K} t}+{\text{etc}}.\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8087c4ab18993aa2a808b1774ef8fe2f0237bef)
Désignant par
la chaleur moyenne initiale, ou
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {A} \left(e^{\pi }-e^{-\pi }\right)}{\pi \left(e^{\pi }+e^{-\pi }\right)}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8796100f4312f9c3ec94a1a00b5d15183ca6056)
on a l’équation suivante, qui exprime le mouvement de la chaleur dans un anneau, lorsqu’on expose cet anneau à un courant d’air froid, après qu’il a ete échauffé par un de ses points, et amène ainsi à des températures stationnaires :
![{\displaystyle \pi z=2e^{-ht}\mathrm {M} \left({\frac {1}{2}}+{\frac {\cos .x}{1^{2}+1}}e^{-\mathrm {K} t}+{\frac {\cos .2x}{2^{2}+1}}e^{-2^{2}\mathrm {K} t}+{\frac {\cos .3x}{3^{2}+1}}e^{-3^{2}\mathrm {K} t}+{\text{etc}}.\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6c42cee3f26999d6a508f81fcec770de792b4bd)
34. 2o Pour faire une seconde application de l’équation générale (\mathrm
nous supposerons que la chaleur initiale est tellement distribuée, qu’une moitié de l’anneau comprise depuis
jusqu’à
a dans tous ses points la température
et que l’autre partie est à la température
Il s’agit de déterminer l’état de l’anneau après un temps écoulé
On fera d’abord usage de l’équation qui donne le développement de
La fonction arbitraire
qui représente l’état initial, est telle dans ce cas, que la chaleur est 1 toutes les fois que la variable est comprise entre
et
Il en résulte que l’on doit supposer
et ne prendre les intégrales