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Les sinus des arcs ${\frac {x_{1}}{r}}$ et ${\frac {x_{2}}{r}}$ ne different que par le signe, et il en est de même des quantités $\cos .{\frac {x_{1}}{r}}$ et $\cos .{\frac {x_{2}}{r}}:$ donc ${\frac {z_{1}+z_{2}}{2}}=ae^{-ht}.$ Ainsi la demi-somme des températures des points opposés donne une quantité $ae^{-ht},$ qui serait encore la même si on avait choisi deux points situés aux extrémités d’un autre diamètre. Cette quantité $ae^{-ht}$ est, comme on l’a vu plus haut, la valeur exacte de la température moyenne après le temps $t.$ Ainsi la demi-somme des températures de deux points opposés quelconques, décroît continuellement avec la température moyenne de l’anneau, et en représente la valeur sans erreur sensible, après que le refroidissement a duré un certain temps. Examinons plus particulièrement en quoi consiste ce dernier état, qui est exprime par l’équation

$z=\left(\left.{\begin{aligned}a_{0}&+a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}\\&+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}\end{aligned}}\right\}e^{-{\frac {K}{r^{2}t}}}\right)e^{-ht}.$

Si l’on cherche d’abord le point de l’anneau pour lequel on a l’équation

$a_{1}\sin .{\frac {x}{r}}+b_{1}\cos .{\frac {x}{r}}=0,\qquad {\text{ou}}\qquad {\frac {x}{r}}=\operatorname {arc.tang} \left(-{\frac {b_{1}}{a_{1}}}\right),$

on voit que la température de ce point est, à chaque instant, la température moyenne de l’anneau. Il en est de même du point diamétralement oppose, car l’abscisse $x$ de ce dernier