En substituant ensuite les valeurs de
etc, dans l’équation générale
![{\displaystyle a_{m}=a_{m-1}(q+2)-a_{m-2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/12f61e7afdcf439ac5f1c9d45946670f3df7b6f4)
on trouvera
![{\displaystyle \sin .mu=(q+2)\sin .(m-1)u-\sin .(m-2)u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88ca1b7fdeb92ba092aa71ea1b7d777ac7a79cb3)
En comparant cette équation à celle-ci,
![{\displaystyle \sin .mu=2\cos .u.\sin .(m-1)u-\sin .(m-2)u,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/57084c7f0cbd8bb84f21775bcdea72cfda0c329d)
qui exprime une propriété connue des sinus d’arcs en progression arithmétique, on en conclut
ou
![{\displaystyle q=-2\sin .\mathrm {v} .u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a3ed70b8726066279f2d0f877bfd1f2d4241ef0)
Il ne reste plus qu’a déterminer la valeur de l’arc ![{\displaystyle u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edd5636410da69bac33da075162221527401793c)
La valeur générale de
étant
![{\displaystyle {\frac {a_{1}}{\sin .u}}\left[(\sin .mu-\sin .(m-1)u\right],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dc0229c2bfaa450c19b7a0ebcf4ac19af1058f7)
on aura, pour satisfaire à la condition
l’équation
![{\displaystyle sin(n+1)u-\sin .nu=\sin .nu-\sin .(n-1)u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b754ba6777e4aabd6a2401749d1ff7bb1f0018)
ou
![{\displaystyle \qquad \qquad \qquad (\cos .u-1)\sin .nu=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c041192bc809e6d24df64f43cb2799ef8a6eac7)
d’où l’on tire
ou
étant la demi-circonférence, et
un nombre entier quelconque
On en peut déduire les
valeurs de
ou
ainsi toutes les racines de l’équation en
qui donnent