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Ces dernières équations ne fournissent qu’une solution très-particulière de la question proposée ; car si l’on suppose $t=0,$ on aura pour les valeurs initiales de $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{n},$ les quantités

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\ldots \sin .(n-1)u.$

qui ne s’accordent point avec les valeurs données $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.$ Mais la solution précédente mérite d’être remarquée, parce qu’elle exprime, comme on le verra par la suite, une circonstance qui appartient à tous les cas possibles, et représente les dernières variations des températures. On voit par cette solution que si les températures initiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{n}.$ étaient proportionnelles aux sinus

$\sin .\left(0.2{\frac {\pi }{n}}\right),\quad \sin .\left(1.2{\frac {\pi }{n}}\right),\quad \sin .\left(2.2{\frac {\pi }{n}}\right),\ldots \sin .\left(\left[(n-1)2{\frac {\pi }{n}}\right)\right],$

elles demeureraient continuellement proportionnelles à ces mêmes sinus, et l’on aurait les équations :

${\begin{aligned}&\alpha _{1}=a_{1}e^{-ht},\\&\alpha _{2}=a_{2}e^{-ht},\\&\alpha _{3}=a_{3}e^{-ht},\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \\&\alpha _{n}=a_{n}e^{-ht},\end{aligned}}$

et

$h=2{\frac {\mathrm {K} }{m}}\sin .\mathrm {v} .\left(2{\frac {\pi }{n}}\right).$