On peut donner
valeurs différentes à
depuis
jusqu’à
En substituant ces valeurs de
dans les équations
on aura, pour satisfaire aux équations différentielles
les résultats suivants :
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\alpha _{1}=&\sin .0u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\qquad &\alpha _{1}=&\cos .0u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\alpha _{2}=&\sin .1u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{2}=&\cos .1u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\alpha _{3}=&\sin .2u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{3}=&\cos .2u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\alpha _{n}=&\sin .(n-1)u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{n}=&\cos .(n-1)u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}}.\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/010e39940c65c60eb22540b65de13b34aeed815a)
On satisferait également aux équations linéaires
en composant les valeurs de chacune des variables
de la somme de plusieurs valeurs particulières que l’on aurait trouvées pour cette même variable ; et l’on peut aussi multiplier, par des coëfficients constants quelconques, chacun des termes particuliers qui entrent dans la valeur générale d’une des variables. Il suit de là qu’en désignant par
des coëfficients quelconques, on pourra prendre, pour exprimer la valeur générale d’une des variables, par exemple de
l’équation
![{\displaystyle \alpha _{m+1}=(\mathrm {A} _{1}\sin .mu_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .mu_{1})e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17d8552cb4bf86eede71c4f5e4d172590b77258d)