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On peut donner $n$ valeurs différentes à $i,$ depuis $i=1$ jusqu’à $i=n.$ En substituant ces valeurs de $b_{1},b_{2},b_{3},\ldots b_{n}$ dans les équations $(f),$ on aura, pour satisfaire aux équations différentielles $(\varepsilon ),$ les résultats suivants :

${\begin{alignedat}{2}\alpha _{1}=&\sin .0u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\qquad &\alpha _{1}=&\cos .0u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\alpha _{2}=&\sin .1u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{2}=&\cos .1u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\alpha _{3}=&\sin .2u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{3}=&\cos .2u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},\\\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots &\ldots \ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\alpha _{n}=&\sin .(n-1)u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}},&\alpha _{n}=&\cos .(n-1)u_{i}.e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{i}}.\end{alignedat}}$

On satisferait également aux équations linéaires $(\varepsilon )$ en composant les valeurs de chacune des variables $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{n}$ de la somme de plusieurs valeurs particulières que l’on aurait trouvées pour cette même variable ; et l’on peut aussi multiplier, par des coëfficients constants quelconques, chacun des termes particuliers qui entrent dans la valeur générale d’une des variables. Il suit de là qu’en désignant par $\mathrm {A_{1},B_{1},A_{2},B_{2},A_{3},B_{3}} ,\ldots \mathrm {A} _{n},\mathrm {B} _{n},$ des coëfficients quelconques, on pourra prendre, pour exprimer la valeur générale d’une des variables, par exemple de $\alpha _{m+1},$ l’équation

$\alpha _{m+1}=(\mathrm {A} _{1}\sin .mu_{1}+\mathrm {B} _{1}\cos .mu_{1})e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .u_{1}}$