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posé d’un nombre entier de ces parties, et que l’on marque les extrémités des arcs $u,\,2u.3u,\,4u,\ldots \,(n-1).u,$ il résulte des propriétés connues des quantités trigonométriques que les quantités

$\sin .0u,\quad \sin .1u,\quad \sin .2u,\quad \sin .3u.\ldots \quad \sin .(n-1).u,$

ou celles-ci,

$\cos .0u,\quad \cos .1u,\quad \cos .2u,\quad \cos .3u.\ldots \quad \cos .(n-1).u.$

formeront une série récurrente périodique composée de $n$ termes. Cela posé, si l’on compare une de ces deux séries correspondantes à un arc $u,$ ou $\mu {\frac {2\pi }{n}},$ à une série correspondante à un arc $v,$ ou $\nu {\frac {2\pi }{n}},$ et qu’on multiplie terme à terme les deux séries comparées, la somme des produits sera nulle, lorsque les arcs $u$ et $v$ sont différents. Si les arcs $u$ et $v$ sont égaux, la somme des produits est égale à ${\frac {1}{2}}n,$ lorsque l’on compare deux séries de sinus, ou lorsque l’on compare deux séries de cosinus ; mais cette somme est nulle, si l’on compare une série de sinus à une de cosinus. Si l’on suppose nuls les arcs $u$ et $v,$ il est manifeste que la somme des produits terme à terme est nulle, toutes les fois que l’une des deux séries est formée de sinus, et lorsqu’elles le sont toutes les deux ; mais la somme des produits est $n,$ si les deux séries comparées sont formées de cosinus. En général, la somme des produits terme à terme est égale à $0,$ ou ${\frac {1}{2}}n,$ ou $n,$ ce que d’ailleurs l’on déduirait de la règle connue pour la sommation des suites trigonométriques. Il est aisé d’effectuer, au moyen de ces remarques, l’élimination des inconnues dans les équations précédentes $(\mathrm {P} ).$ L’indéterminée $\mathrm {A} _{1}$ disparaît d’elle-même, comme ayant des coëfficients nuls. Pour