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trouver $\mathrm {B} _{1}$ on multipliera les deux nombres de chaque équation par le coëfficient de $\mathrm {B} _{1}$ dans cette même équation, et l’on ajoutera toutes les équations ainsi multipliées. On trouvera $(a_{1}+a_{2}+a_{3}+\ldots a_{n})=n\mathrm {B} _{1}.$

Pour déterminer $\mathrm {A} _{2},$ on multipliera les deux nombres de chaque équation par le coëfficient de $\mathrm {A} _{2}$ dans cette équation, et en désignant l’arc ${\frac {2\pi }{n}}$ par $q,$ on aura, après avoir ajouté les équations,

$a_{1}\sin .0q+a_{2}\sin .1q+a_{3}\sin .2q+a_{4}\sin .3q+\ldots a_{n}\sin .(n-1)q={\frac {1}{2}}n\mathrm {A} _{2}.$

On aura pareillement, pour déterminer $\mathrm {B} _{2},$

$a_{1}\cos .0q+a_{2}\cos .1q+a_{3}\cos .2q+a_{4}\cos .3q+\ldots a_{n}\cos .(n-1)q={\frac {1}{2}}n\mathrm {B} _{2}.$

En général on trouvera chaque indéterminée, en multipliant les deux membres de chaque équation par le coëfficient de l’indéterminée dans cette même équation, et en ajoutant les produits. On parvient ainsi aux résultats suivants :

$n\mathrm {B} _{1}=a_{1}\qquad \qquad +a_{2}\qquad \qquad +\ldots +a_{n}\qquad \qquad =\mathbf {S} (a_{i})$

$(n){\begin{alignedat}{4}{\frac {1}{2}}n\mathrm {A} _{2}&=a_{1}\sin .0{\frac {2\pi }{n}}&&+a_{2}\sin .1{\frac {2\pi }{n}}+\ldots &&+a_{n}\sin .(n-1){\frac {2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\sin .(i-1){\frac {2\pi }{n}}\right),\\{\frac {1}{2}}n\mathrm {B} _{2}&=a_{1}\cos .0{\frac {2\pi }{n}}&&+a_{2}\cos .1{\frac {2\pi }{n}}+\ldots &&+a_{n}\cos .(n-1){\frac {2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\cos .(i-1){\frac {2\pi }{n}}\right),\\{\frac {1}{2}}n\mathrm {A} _{3}&=a_{1}\sin .0{\frac {2.2\pi }{n}}&&+a_{2}\sin .1{\frac {2.2\pi }{n}}+\ldots &&+a_{n}\sin .(n-1){\frac {2.2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\sin .(i-1){\frac {2.2\pi }{n}}\right),\\{\frac {1}{2}}n\mathrm {B} _{3}&=a_{1}\cos .0{\frac {2.2\pi }{n}}&&+a_{2}\cos .1{\frac {2.2\pi }{n}}+\ldots &&+a_{n}\cos .(n-1){\frac {2.2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\cos .(i-1){\frac {2.2\pi }{n}}\right),\\{\frac {1}{2}}n\mathrm {A} _{4}&=a_{1}\sin .0{\frac {3.2\pi }{n}}&&+a_{2}\sin .1{\frac {3.2\pi }{n}}+\ldots &&+a_{n}\sin .(n-1){\frac {3.2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\sin .(i-1){\frac {3.2\pi }{n}}\right),\\{\frac {1}{2}}n\mathrm {B} _{4}&=a_{1}\cos .0{\frac {3.2\pi }{n}}&&\equiv a_{2}\cos .1{\frac {3.2\pi }{n}}\equiv \ldots &&\equiv a_{n}\cos .(n-1){\frac {3.2\pi }{n}}&&=\mathbf {S} \left(a_{i}\cos .(i-1){\frac {3.2\pi }{n}}\right),\\{\text{etc}}.&\end{alignedat}}$