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$\alpha _{n}=\mathrm {N} _{0}+\left(\mathrm {M} _{1}\sin .(n-1)q_{1}+\mathrm {N} _{1}\cos .(n-1)q_{1}\right)\varepsilon ^{t\sin .\mathrm {v} .q_{1}}$

$+\left(\mathrm {M} _{2}\sin .(n-1)q_{2}+\mathrm {N} _{2}\cos .(n-1)q_{2}\right)\varepsilon ^{t\sin .\mathrm {v} .q_{2}}+{\text{etc}}.$

Dans ces équations on a

$\epsilon =e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}},\quad q_{1}=1{\frac {2\pi }{n}},\quad q_{2}=2{\frac {2\pi }{n}},\quad q_{3}=3{\frac {2\pi }{n}},{\text{etc}}.$

${\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{0}=&{\frac {1}{n}}\mathbf {S} (a_{i}),\\\mathrm {N} _{1}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{1}\right],\qquad &\mathrm {M} _{1}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{1}\right],\\\mathrm {N} _{2}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{2}\right],&\mathrm {M} _{2}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{2}\right],\\\mathrm {N} _{3}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{3}\right],&\mathrm {M} _{3}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{3}\right],\end{alignedat}}$

${espaces|20}etc.{espaces|50}etc.$

Les équations précédentes renferment la solution complète de la question proposée ; elles sont représentées par cette équation générale

${\begin{aligned}\alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{i}&+\left[{\frac {2}{n}}\sin .(j-1)1{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1)1{\frac {2\pi }{n}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {2}{n}}\cos .(j-1)1{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1)1{\frac {2\pi }{n}}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .1{\frac {2\pi }{n}}}\\(\mathrm {A} )\qquad \qquad &+\left[{\frac {2}{n}}\sin .(j-1)2{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1)2{\frac {2\pi }{n}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {2}{n}}\cos .(j-1)2{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1)2{\frac {2\pi }{n}}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .2{\frac {2\pi }{n}}}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

dans laquelle il n’entre que des quantités entièrement connues, savoir : $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},\ldots a_{n},$ qui sont les températures initiales, $\mathrm {K}$ mesure de la conductibilité, $m$ valeur de la masse, $n$ nombre des masses échauffées, et $t$ le temps écoulé.