![{\displaystyle \alpha _{n}=\mathrm {N} _{0}+\left(\mathrm {M} _{1}\sin .(n-1)q_{1}+\mathrm {N} _{1}\cos .(n-1)q_{1}\right)\varepsilon ^{t\sin .\mathrm {v} .q_{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ba743b6a12c17d77d3bed65a6bca91810ac07d9a)
![{\displaystyle +\left(\mathrm {M} _{2}\sin .(n-1)q_{2}+\mathrm {N} _{2}\cos .(n-1)q_{2}\right)\varepsilon ^{t\sin .\mathrm {v} .q_{2}}+{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/355e9fba99821c4f0fbe382d91828752d7994f80)
Dans ces équations on a
![{\displaystyle \epsilon =e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}},\quad q_{1}=1{\frac {2\pi }{n}},\quad q_{2}=2{\frac {2\pi }{n}},\quad q_{3}=3{\frac {2\pi }{n}},{\text{etc}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/100ad01413a7f6ff313381a293d7ee6d93e18ace)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\mathrm {N} _{0}=&{\frac {1}{n}}\mathbf {S} (a_{i}),\\\mathrm {N} _{1}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{1}\right],\qquad &\mathrm {M} _{1}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{1}\right],\\\mathrm {N} _{2}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{2}\right],&\mathrm {M} _{2}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{2}\right],\\\mathrm {N} _{3}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\cos .(i-1)q_{3}\right],&\mathrm {M} _{3}=&{\frac {2}{n}}\mathbf {S} \left[a_{i}\sin .(i-1)q_{3}\right],\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d5f32e67059bb95ed6a248429ff379af78b981f4)
![{\displaystyle {espaces|20}etc.{espaces|50}etc.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69496fce3b3668a67275f6666f8ce349b8403de0)
Les équations précédentes renferment la solution complète de la question proposée ; elles sont représentées par cette équation générale
![{\displaystyle {\begin{aligned}\alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{i}&+\left[{\frac {2}{n}}\sin .(j-1)1{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1)1{\frac {2\pi }{n}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {2}{n}}\cos .(j-1)1{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1)1{\frac {2\pi }{n}}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .1{\frac {2\pi }{n}}}\\(\mathrm {A} )\qquad \qquad &+\left[{\frac {2}{n}}\sin .(j-1)2{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1)2{\frac {2\pi }{n}}\right.\\&\qquad \left.+{\frac {2}{n}}\cos .(j-1)2{\frac {2\pi }{n}}\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1)2{\frac {2\pi }{n}}\right]e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .2{\frac {2\pi }{n}}}\\&+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1231b8e4e6ae4fdd8d0173add8ac82fbd9dfb00b)
dans laquelle il n’entre que des quantités entièrement connues, savoir :
qui sont les températures initiales,
mesure de la conductibilité,
valeur de la masse,
nombre des masses échauffées, et
le temps écoulé.