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42. Si dans l’équation générale ($\mathrm {A} .$ page 388) qui donne la valeur de $\alpha _{j},$ on suppose que le temps a une valeur infinie, on trouvera $\alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{i},$ en sorte que chacune des masses aura acquit la température moyenne ; résultat qui est évident par lui-même. À mesure que la valeur du temps augmente, le premier terme ${\frac {1}{n}}\mathbf {S} (a_{i})$ devient de plus en plus grand par rapport au suivant, ou à la somme des suivants. Il en est de même du second par rapport aux termes qui le suivent ; et lorsque le temps a acquis une valeur considérable, la valeur de $\alpha _{j}$ est représentée, sans erreur sensible, par l’équation suivante :

$\alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{i}+{\frac {2}{n}}\sin .(j-1){\frac {2\pi }{n}}.\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1){\frac {2\pi }{n}}+$

$+{\frac {2}{n}}\cos .(j-1){\frac {2\pi }{n}}.\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1){\frac {2\pi }{n}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .{\frac {2\pi }{n}}}.$

En désignant par $a$ et $b$ les coëfficients de $\sin .(j-1){\frac {2\pi }{n}},$ et de $\cos .(j-1){\frac {2\pi }{n}},$ et la fraction $e^{-2{\frac {K}{m}}-t\sin .\mathrm {v} .{\frac {2\pi }{n}}}$ par $\omega .$ on aura

$\alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{1}+\left[a\sin .(j-1){\frac {2\pi }{n}}+b\cos .(j-1){\frac {2\pi }{n}}\right]\omega ^{t},$

les quantités $a$ et $b$ sont constantes, c’est-à-dire indépendantes du temps et de la lettre $j,$ qui indique le rang de la masse dont la température est $\alpha _{j}:$ ces quantités sont les mêmes pour toutes les masses. La différence de la température variable $\alpha$ à la température finale ${\frac {1}{n}}\mathbf {S} (a_{i})$ décroit donc pour chacune des masses proportionnellement aux puissances successives de la fraction. Chacun des corps tend de plus