42. Si dans l’équation générale (
page 388) qui donne la valeur de
on suppose que le temps a une valeur infinie, on trouvera
en sorte que chacune des masses aura acquit la température moyenne ; résultat qui est évident par lui-même. À mesure que la valeur du temps augmente, le premier terme
devient de plus en plus grand par rapport au suivant, ou à la somme des suivants. Il en est de même du second par rapport aux termes qui le suivent ; et lorsque le temps a acquis une valeur considérable, la valeur de
est représentée, sans erreur sensible, par l’équation suivante :
![{\displaystyle \alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{i}+{\frac {2}{n}}\sin .(j-1){\frac {2\pi }{n}}.\mathbf {S} a_{i}\sin .(i-1){\frac {2\pi }{n}}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec859be0a89e095dacc55675c3dc5b563d71c54d)
![{\displaystyle +{\frac {2}{n}}\cos .(j-1){\frac {2\pi }{n}}.\mathbf {S} a_{i}\cos .(i-1){\frac {2\pi }{n}}e^{-2{\frac {\mathrm {K} }{m}}t\sin .\mathrm {v} .{\frac {2\pi }{n}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cb525fd792f69a227e535aa8f65abe1dfad8770)
En désignant par
et
les coëfficients de
et de
et la fraction
par
on aura
![{\displaystyle \alpha _{j}={\frac {1}{n}}\mathbf {S} a_{1}+\left[a\sin .(j-1){\frac {2\pi }{n}}+b\cos .(j-1){\frac {2\pi }{n}}\right]\omega ^{t},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b2a2e300a17cbeb6e00732e0c820f100f146141)
les quantités
et
sont constantes, c’est-à-dire indépendantes du temps et de la lettre
qui indique le rang de la masse dont la température est
ces quantités sont les mêmes pour toutes les masses. La différence de la température variable
à la température finale
décroit donc pour chacune des masses proportionnellement aux puissances successives de la fraction. Chacun des corps tend de plus