Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 4.djvu/749

$16,\ldots$ à l’infini, et chacune des masses sera $\pi ,$ ou, ${\frac {\pi }{2}},$ ou ${\frac {\pi }{4}},$ ou ${\frac {\pi }{8}},\ldots .$ Il est nécessaire de supposer aussi que la facilité avec laquelle la chaleur se transmet, augmente dans le même rapport que le nombre des masses $m,$ c’est-à-dire en raison inverse de l’épaisseur de chacune. Ainsi la quantité que représente $\mathrm {K}$ lorsqu’il n’y a que deux masses, vient double lorsqu’il y en a quatre, quadruple s’il y en a huit, ainsi de suite en désignant par $g$ cette quantité, on voit que le nombre $\mathrm {K}$ devra être successivement remplacé par $g,2g,4g,\ldots .$ etc. Si l’on passe maintenant à la supposition du corps continu, on écrira au lieu de $m,$ valeur de chaque masse infiniment petite, l’élément $dx\,;$ au lieu du nombre $n$ des masses, on mettra ${\frac {2\pi }{dx}},$ et au lieu de $\mathrm {K}$ on mettra ${\frac {gn}{2}}$ ou ${\frac {\pi g}{dx}}.$

Quant aux températures initiales $a_{1},a_{2},a_{3},\ldots a_{i},\ldots a_{n},$ elles dépendent de la valeur de l’arc $x\,;$ et en considérant ces températures comme les états successifs d’une même variable, la valeur générale $a_{i}$ représente une fonction arbitraire de $x\,:$ l’indice $i$ sera alors remplacé par ${\frac {x}{dx}}.$ À l’égard des quantités $\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3},\ldots \alpha _{j},\ldots \alpha _{n},$ ces températures sont des variables qui dépendent des deux quantités $x$ et $t.$ En désignant par $z$ cette variable, on aura $\psi (x,t)=z.$ L’indice $j,$ qui marque la place que l’un des corps occupe, sera remplacé par ${\frac {x}{dx}}.$ Ainsi, pour appliquer l’analyse précédente au cas où l’on aurait une infinité de tranches formant un corps con-