On aura donc
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {3}{\mathrm {X} ^{3}}}\int (x^{2}zdx)=&3.4{\frac {(\sin .n_{1}\mathrm {X} -n_{1}\mathrm {X} \cos .n_{1}\mathrm {X} )^{2}}{(2n_{1}\mathrm {X} -\sin .2n_{1}\mathrm {X} )n_{1}^{3}\mathrm {X} ^{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}\\&+3.4{\frac {(\sin .n_{2}\mathrm {X} -n_{2}\mathrm {X} \cos .n_{2}\mathrm {X} )^{2}}{(2n_{2}\mathrm {X} -\sin .2n_{2}\mathrm {X} )n_{2}^{3}\mathrm {X} ^{3}}}e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f4a00a61fc21e5d19604369ebedc3d5bb5c2962e)
et en désignant par
la température moyenne,
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {Z} }{3.4}}={\frac {(\sin .\varepsilon _{1}-\varepsilon _{1}\cos .\varepsilon _{1})^{2}}{(2\varepsilon _{1}-\sin .2\varepsilon _{1})e_{1}^{3}}}e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf2c286c17c56d1505f66a6b384293cc33a8ff2e)
![{\displaystyle +{\frac {(\sin .\varepsilon _{2}-\varepsilon _{2}\cos .\varepsilon _{2})^{2}}{(2\varepsilon _{2}-\sin .2\varepsilon _{2})e_{2}^{3}}}e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{2}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}+{\text{etc}}.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3aa500fdf47edaf5c97312d57ba3f243d84d87c2)
équation dans laquelle tous les coëfficients des exponentielles sont positifs.
Nous considérerons le cas où, toutes les autres conditions demeurant les mêmes, la valeur
du rayon de la sphère deviendra infiniment grande. En reprenant la construction rapportée en l’article (44), on voit que la quantité
devenant infinie, la droite menée par l’origine, et qui doit couper les différentes branches de la courbe, se confond avec l’axe des
On trouve donc, pour les différentes valeurs de
les quantités
etc. Le terme de la valeur de
qui contient
![{\displaystyle e^{-\mathrm {K} {\frac {\varepsilon _{1}^{2}}{\mathrm {CD.X^{2}} }}t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ffd7d5ccda575545ae6b7358b4c013dbb5f7c06a)
devenant, à mesure que le temps augmente, beaucoup plus grand que les suivants, cette valeur de
après un temps considérable, est exprimée sans erreur sensible par le premier terme seulement. L’exposant
étant égal à
on voit que le refroidissement final est très-lent dans les