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et considérer $\cos .\varepsilon$ comme dérivant de $\sin .\varepsilon$ par la différentiation. On supposera qu’au lieu de composer $\sin .\varepsilon$ du produit d’un nombre infini de facteurs, on emploie seulement les $m$ premiers, et l’on désignera le produit par $\varphi _{m}(\varepsilon ).$ Pour trouver la valeur correspondante qui remplace $\cos .\varepsilon ,$ on prendra

${\frac {d\left[\varphi _{m}(\varepsilon )\right]}{d\varepsilon }}\quad {\text{ou}}\quad \varphi '_{m}(\varepsilon ).$

Cela posé, on aura l’équation

$\varphi _{m}(\varepsilon )-{\frac {\varepsilon }{\lambda }}.\varphi '_{m}(\varepsilon )=0$

Or en donnant au nombre $m$ les valeurs successives $1,2,3,4,$ etc., depuis $1$ jusqu’à l’infini, on connaîtra sans aucun doute, par les principes ordinaires de l’algèbre, la nature des équations déterminées qui correspondent à ces différentes valeurs de $m,$ et les limites de leurs racines. On conclut rigoureusement de cet examen que l’équation ${\frac {\varepsilon }{\operatorname {tang} .\varepsilon }}=\lambda ,$ dans laquelle $\lambda$ est moindre que l’unité, ne peut avoir aucune racine imaginaire, de quelque espèce que ce soit.

Au reste la solution que nous avons donnée dans l’article 44, pages 400 et suivantes, ne suppose point nécessairement que toutes les racines de l’équation déterminée sont réelles ; il suffit, pour l’exactitude de cette solution, que l’on puisse employer un nombre infini de racines réelles différentes : car dans ce cas l’intégrale pourra toujours coïncider avec l’état initial du solide, et par conséquent elle représentera aussi tous les états subséquents.