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la valeur particulière de $u,$ qui satisfait à l’équation

$gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,\quad {\text{est}}\quad {\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {g}}\sin .r\right)dr.$

l’intégrale étant prise depuis $r=0$ jusqu’à $r=\pi .$ En désignant par $q$ cette valeur particulière de $u,$ et faisant $u=qs,$ on trouvera

$s=\mathrm {A+B} \int {\frac {dx}{xq^{2}}}\,;$

et l’on aura pour exprimer l’intégrale complète de l’équation ${\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,$

$u=\left\{\mathrm {A+B} \int {\frac {dx}{x\left[\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr\right]^{2}}}\right\}\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr.$

$\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ désignent des constantes arbitraires. Si l’on suppose $\mathrm {B} =0,$ on aura, comme précédemment,

$u=\mathrm {A} \int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr.$

J’ajouterai la remarque suivante, relative à cette dernière expression.

L’équation

${\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)du=1-{\frac {t^{2}}{2^{2}}}+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.,$

se vérifie d’elle-même. En effet on a

$\int \cos .(t\sin .u)du=$

$\int du\left[1-{\frac {t^{2}\sin .u^{2}}{2}}+{\frac {t^{4}\sin .u^{4}}{2.3.4}}-{\frac {t^{6}\sin .u^{6}}{2.3.4.5.6}}+{\frac {t^{8}\sin .u^{8}}{2.3.4.5.6.7.8}}-{\text{etc}}.\right]\,;$

et intégrant depuis $u=0$ jusqu’à $u=\pi ,$ en désignant par