la valeur particulière de
qui satisfait à l’équation
![{\displaystyle gu+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,\quad {\text{est}}\quad {\frac {1}{\pi }}\int \cos .\left(x{\sqrt {g}}\sin .r\right)dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d292590cf90cb31c7f8755d4c38a4b8583aeb72f)
l’intégrale étant prise depuis
jusqu’à
En désignant par
cette valeur particulière de
et faisant
on trouvera
![{\displaystyle s=\mathrm {A+B} \int {\frac {dx}{xq^{2}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bdee16682bfe45e9998890a4ff70a24a5b5450)
et l’on aura pour exprimer l’intégrale complète de l’équation ![{\displaystyle {\frac {m}{\mathrm {K} }}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2131ced6c9ea4ac9da23c868ea54446606b514ab)
![{\displaystyle u=\left\{\mathrm {A+B} \int {\frac {dx}{x\left[\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr\right]^{2}}}\right\}\int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/566867404cc044187672579f53575aeb69cba387)
et
désignent des constantes arbitraires. Si l’on suppose
on aura, comme précédemment,
![{\displaystyle u=\mathrm {A} \int \cos .\left(x{\sqrt {\frac {m}{\mathrm {K} }}}\sin .r\right)dr.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8a4a3a58535713071fca7109dd88f38dd283575)
J’ajouterai la remarque suivante, relative à cette dernière expression.
L’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\int \cos .(t\sin .u)du=1-{\frac {t^{2}}{2^{2}}}+{\frac {t^{4}}{2^{2}.4^{2}}}-{\frac {t^{6}}{2^{2}.4^{2}.6^{2}}}+{\text{etc}}.,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3485c4317cdea8c02f12678699c71c3c45853aae)
se vérifie d’elle-même. En effet on a
![{\displaystyle \int \cos .(t\sin .u)du=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a4bee8b3bee0577c6543157d271919ba7e01136)
![{\displaystyle \int du\left[1-{\frac {t^{2}\sin .u^{2}}{2}}+{\frac {t^{4}\sin .u^{4}}{2.3.4}}-{\frac {t^{6}\sin .u^{6}}{2.3.4.5.6}}+{\frac {t^{8}\sin .u^{8}}{2.3.4.5.6.7.8}}-{\text{etc}}.\right]\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43b72bfe9187c09dbf3780040b3059a517de8790)
et intégrant depuis
jusqu’à
en désignant par