et comparant les deux valeurs de
on voit que le second membre de l’équation precedente
s’évanouit.
Il suit de là qu’après que l’on a multiplié par
les deux termes de l’équation
![{\displaystyle \varphi x=a_{1}u_{1}+a_{2}u_{2}+a_{3}u_{3}+\cdots +a_{i}u_{i}+\mathrm {etc.} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36c1e3ce1ab1cdd63292848de3060b2477209037)
et intégré de part et d’autre depuis
jusqu’à
chacune des intégrales definies qui composent le second membre s’évanouit : il suffit de prendre pour
la quantité
ou
Il faut excepter le seul cas où
est égale à
Alors la valeur de
tirée de l’équation
se réduit à
et on la détermine par les règles connues.
Soit
et
on aura
![{\displaystyle \int \left[x\,\psi (x\mu ).\psi (x\nu )dx\right]={\frac {\mathrm {\mu \,R\,\psi '(\mu R).\psi (\nu R)-\nu \,R\psi '(\nu R).\psi (\mu R)} }{\nu ^{2}-\mu ^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c29652976d78e2c4162ecff733fd68b1e4b50b8a)
Le second membre étant différentié au numérateur et au dénominateur par rapport à
donnera, en faisant
![{\displaystyle {\frac {\mathrm {\mu R^{2}\psi '^{2}-R\psi \psi '-\mu R^{2}\psi \psi ''} }{2\mu }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d869c8d43e11e3b03f49b65f86fdf7ead94ede)
On a d’un autre côté l’équation
![{\displaystyle \mu ^{2}u+{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}+{\frac {1}{x}}.{\frac {du}{dx}}=0,\quad {\text{ou}}\quad \mu ^{2}\psi +{\frac {\mu }{x}}\psi '+\mu ^{2}\psi ''=0\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9bd20f4e5f54a85f01f4bb0e89d1b83beda4ab4)
et celle-ci,
![{\displaystyle {\frac {hx}{\mathrm {2K} }}\psi +\mu \psi '=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0085408c96fd153ee89901d6813c807919e43ddb)