constante quelle que soit la valeur que l’on donne, soit à
soit à
soit à
pourvu que chacune de ces valeurs soit comprise entre
et
Appelant
la température initiale commune à tous les points du solide, on posera l’équation
![{\displaystyle 1=\mathrm {A} _{1}\cos .n_{1}x+\mathrm {A} _{2}\cos .n_{2}x+\mathrm {A} _{3}\cos .n_{3}x+{\text{etc.}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4651905ce0dbf143225aeb216fb0ebc2bd8b1bde)
dans laquelle il s'agit de déterminer
etc. On multipliera chaque membre par
et l’on intégrera depuis
jusqu’à
Or il résulte de l’analyse employée précédemment (pag. 461), que l’on a l’équation
![{\displaystyle 1={\frac {\sin .n_{1}a\cos .n_{1}x}{n_{1}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{1}a}{2n_{1}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{2}a.\cos .n_{2}x}{n_{2}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{2}a}{2n_{2}a}}\right)}}+{\frac {\sin .n_{3}a.\cos .n_{3}x}{n_{3}a\left(1+{\frac {\sin .2n_{3}a}{2n_{3}a}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/85c5b4e247f7e95d6fa697d175a0f19a667bed2e)
etc.
Désignant par
la quantité
et par
etc. les quantités analogues, on aura
![{\displaystyle 1={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}x+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}.\cos .n_{2}x+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}.\cos .n_{3}x+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e6b733db8da7eac077be5659cb9d21ebb54c9e8)
etc. :
cette équation aura toujours lieu lorsque l’on donnera à
une valeur comprise entre
et ![{\displaystyle -a.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7894ce6a00eba1ed084486b10138019906535e4)
On peut en conclure la valeur générale de
elle est exprimée par l’équation suivante :
![{\displaystyle {\begin{aligned}v=&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}xe^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}xe^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}xe^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}ye^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}ye^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}ye^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\&\left({\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a\mu _{1}}}\cos .n_{1}ze^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a\mu _{2}}}\cos .n_{2}ze^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{3}a}{n_{3}a\mu _{3}}}\cos .n_{3}ze^{-\mathrm {K} n_{3}^{2}t}+{\text{etc.}}\right)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ef24b1d827bf9a077a916dc8fc81811c270e56f)