![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+h\mathrm {X} =&0,\\\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+h\mathrm {Y} =&0,\\\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+h\mathrm {Z} =&0.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eec477283f0f155c5a4c5b38a8d8fe65b11e095)
Il suit de là que, pour résoudre complètement la question, il suffit de prendre l’équation
et d’y ajouter l’équation de condition
qui doit avoir lieu lorsque
on mettra ensuite à la place de
ou
ou
ou
et l’on aura les trois fonctions
dont le produit
est la valeur générale de ![{\displaystyle v.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb7b87f7afb1452b9d0e287f8ef746a9912c8333)
Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :
![{\displaystyle v=\varphi (x,t).\varphi (y,t).\varphi (z,t),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8501797f3932ffc3919f6f58fdc57a2896d65e66)
![{\displaystyle \varphi (x,t)={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a_{1}\mu _{1}}}\cos .n_{1}x.e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a_{2}\mu _{2}}}\cos .n_{2}x.e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4f71601499892a0729a88f45c77c50d58d25e39f)
etc.,
ainsi que
etc. sont donnés par l’équation suivante :
![{\displaystyle \varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {ha}{\mathrm {K} }}\quad {\text{et}}\quad n_{1}a=\varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86536e635b81025a4cccf2eb0f0c62a4d4ec062e)
La valeur de
est
il en est de même des quantités analogues
etc. On trouve de la même manière les fonctions ![{\displaystyle \varphi (y,t),\varphi (z,t).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d51037e8a5544d61841eea074ef10b93aa9a0ad2)
On peut se convaincre que cette valeur de
résout la question dans toute son étendue, et que l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables