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${\begin{aligned}\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {X} }{dx}}+h\mathrm {X} =&0,\\\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {Y} }{dy}}+h\mathrm {Y} =&0,\\\mathrm {K} {\frac {d\mathrm {Z} }{dz}}+h\mathrm {Z} =&0.\end{aligned}}$

Il suit de là que, pour résoudre complètement la question, il suffit de prendre l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{ds^{2}}},$ et d’y ajouter l’équation de condition $\mathrm {K} {\frac {du}{ds}}+hu=0,$ qui doit avoir lieu lorsque $s=a\,;$ on mettra ensuite à la place de $s,$ ou $x,$ ou $y,$ ou $z,$ et l’on aura les trois fonctions $\mathrm {X,\,Y,\,Y} ,$ dont le produit $\mathrm {XYZ}$ est la valeur générale de $v.$

Ainsi la question proposée est résolue comme il suit :

$v=\varphi (x,t).\varphi (y,t).\varphi (z,t),$

$\varphi (x,t)={\frac {\sin .n_{1}a}{n_{1}a_{1}\mu _{1}}}\cos .n_{1}x.e^{-\mathrm {K} n_{1}^{2}t}+{\frac {\sin .n_{2}a}{n_{2}a_{2}\mu _{2}}}\cos .n_{2}x.e^{-\mathrm {K} n_{2}^{2}t}+$etc.,

$n_{1}$ ainsi que $n_{2},n_{3},$ etc. sont donnés par l’équation suivante :

$\varepsilon \operatorname {tang} .\varepsilon ={\frac {ha}{\mathrm {K} }}\quad {\text{et}}\quad n_{1}a=\varepsilon .$

La valeur de $\mu _{1}$ est ${\frac {1}{2}}\left(1+{\frac {\sin .2n_{1}a}{2n_{1}a}}\right)\,:$ il en est de même des quantités analogues $\mu _{2},\mu _{3},\mu _{4},$ etc. On trouve de la même manière les fonctions $\varphi (y,t),\varphi (z,t).$

On peut se convaincre que cette valeur de $v$ résout la question dans toute son étendue, et que l’intégrale complète de l’équation aux différences partielles doit nécessairement prendre cette forme pour exprimer les températures variables