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par rapport à $q,$ de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}}.$ Donc

$v={\frac {2e^{-ht}}{\pi }}\int dqe^{-\mathrm {K} q^{2}t}\sin .qx\int dx\operatorname {\varphi } x.\sin .qx.$

L’intégrale par rapport à $x$ doit être prise de $x=0$ à $x={\frac {1}{0}},$ et la seconde intégrale doit être prise par rapport à $q,$ de $q=0$ à $q={\frac {1}{0}}.$ L’équation précédente contient la solution générale de la question proposée, et en substituant pour $\operatorname {\varphi } x$ une fonction quelconque, assujettie ou non à une loi continue, on pourra toujours exprimer en $x$ et $t$ la valeur de la température.

70. La solution de cette seconde question fait connaitre distinctement quel rapport il y a entre les intégrales définies que nous venons d’employer, et les résultats de l’analyse que nous avons appliquée aux solides d’une figure déterminée. Lorsque, dans les séries convergentes que cette analyse fournit, on donne aux quantités qui désignent les dimensions une valeur infinie, chacun des termes devient infiniment petit, et la somme de la série n’est autre chose qu’une intégrale. On pourrait passer directement de la même manière, et sans aucune considération physique, des diverses séries trigonométriques que nous avons employées aux intégrales définies, et l’on découvre ainsi des propriétés remarquables qui s’accordent dans les cas les plus simples avec que l’on connaissait déjà.

Par exemple dans l’équation (voyez page 304)

${\frac {1}{4}}\pi =\sin .x+{\frac {1}{3}}\sin .3x+{\frac {1}{5}}\sin .5x+\ldots {\frac {1}{(2i+1)}}\sin .(2i+1)x+$etc.