On désignera par
un nombre infini égal à
et par
une quantité variable formée successivement par l’addition de ses parties infiniment petites égales à
On représentera le nombre variable
par
Si maintenant dans le terme général
![{\displaystyle {\frac {1}{2i+1}}\sin .(2i+1).{\frac {u}{n}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/edf1e3e1c242b6448ebd803bb66d50c8abff9348)
on met pour
et
leurs valeurs, ce terme deviendra
![{\displaystyle {\frac {2dq}{q}}\sin .qu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cc73ab4fddc939ebe8b5e671f62f8ab887a770b)
donc la somme de la série sera
![{\displaystyle 2\int {\frac {dq}{q}}\sin .qu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bda603668a4d6eff2e58d5afe871f7ffb7c20831)
l’intégrale étant prise de
à
On a donc l’équation
![{\displaystyle {\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dq}{q}}\sin .2qu,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f97d6a39bf34d5f00685d6af014d6cdcf99e7405)
qui a toujours lieu quelle que soit la valeur positive de
Soit
étant une nouvelle variable, on aura
![{\displaystyle {\frac {dq}{q}}={\frac {dr}{r}}\quad {\text{et}}\quad {\frac {1}{2}}\pi =\int {\frac {dr}{r}}\sin .r.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2550171b5276c13d4e876b286ca13689dbd9917c)
On sait que la valeur de l’intégrale definic
de
à
est en effet
Si l’on prenait cette même intégrale de
à
on aurait un résultat de signe