71. L’équation
![{\displaystyle \sin .x=2\alpha \left[{\frac {\sin .\alpha \sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha \sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha \sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}\alpha ^{2}}}+{\text{etc}}.\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907b875e67bb602da29cf3e2d815b31bfc5d25b7)
que nous avons rapportée (page 312, art. 29) conduit pareillement à l’intégrale
![{\displaystyle {\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\sin .q\pi .\sin .qx}{1-q^{2}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22ab2e29f9b9174a44c4bf2c187f186c0d2d24f7)
Cette dernière expression équivaut à
si
est comprise entre
et
et s’évanouit si
surpasse ![{\displaystyle \pi .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c94b721b560eaa34cbf1e346505aca908d473be5)
La même transformation s’applique à l’équation générale art. 23)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \operatorname {\varphi } x=\sin .x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .x&+\sin .2x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .2x\\&+\sin .3x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .3x+{\text{etc}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1551b36442ad7d59aa22c8a8a3a5de83fb70fd8b)
Faisant
on désignera
ou
par
En supposant une variable
qui reçoit des accroisements infiniment petits, égaux à
on représentera
par
et
par
Substituant ces valeurs dans le terme général
![{\displaystyle \sin .\left({\frac {iu}{u}}\right)\int {\frac {du}{n}}\operatorname {\varphi } \left({\frac {u}{n}}\right)\sin .\left({\frac {iu}{n}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/401624a88358f3da90e3313f4005eec8fd9cb515)
on trouvera
![{\displaystyle dq\sin .qu.\int du\operatorname {\textit {f}} u.\sin .qu\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8cb69736fd8e334b3d74f0a19d6ffb84f4e6f80)
et comme l’intégrale par rapport à
est prise de
à
l’intégration par rapport à
doit avoir lieu de
à
ou de
nulle à
infinie.
On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette