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71. L’équation

$\sin .x=2\alpha \left[{\frac {\sin .\alpha \sin .x}{\pi ^{2}-\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .2\alpha \sin .2x}{\pi ^{2}-2^{2}\alpha ^{2}}}+{\frac {\sin .3\alpha \sin .3x}{\pi ^{2}-3^{2}\alpha ^{2}}}+{\text{etc}}.\right]$

que nous avons rapportée (page 312, art. 29) conduit pareillement à l’intégrale

${\frac {2}{\pi }}\int {\frac {dq\sin .q\pi .\sin .qx}{1-q^{2}}}.$

Cette dernière expression équivaut à $\sin .x$ si $x$ est comprise entre $0$ et $\pi ,$ et s’évanouit si $x$ surpasse $\pi .$

La même transformation s’applique à l’équation générale art. 23)

${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}\pi \operatorname {\varphi } x=\sin .x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .x&+\sin .2x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .2x\\&+\sin .3x\int dx\operatorname {\varphi } x\sin .3x+{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Faisant $x={\frac {u}{n}},$ on désignera $\operatorname {\varphi } x,$ ou $\operatorname {\varphi } \left({\frac {u}{n}}\right),$ par $\operatorname {\textit {f}} u.$ En supposant une variable $q$ qui reçoit des accroisements infiniment petits, égaux à $dq,$ on représentera $n$ par ${\frac {1}{dq}},$ et $i$ par ${\frac {q}{dq}}.$ Substituant ces valeurs dans le terme général

$\sin .\left({\frac {iu}{u}}\right)\int {\frac {du}{n}}\operatorname {\varphi } \left({\frac {u}{n}}\right)\sin .\left({\frac {iu}{n}}\right),$

on trouvera

$dq\sin .qu.\int du\operatorname {\textit {f}} u.\sin .qu\,;$

et comme l’intégrale par rapport à $x$ est prise de $x=0$ à $x=\pi ,$ l’intégration par rapport à $u$ doit avoir lieu de $u=0$ à $x=n\pi ,$ ou de $u$ nulle à $u$ infinie.

On obtient ainsi un résultat général exprimé par cette