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ment une nouvelle chaleur, à celui où la chaleur primitive se propage dans l’intérieur du solide. On pourrait donc résoudre la question proposée de la même manière que celle de la diffusion de la chaleur (voir art. 69, page 492); mais afin de multiplier les moyens de résolution, dans une matière aussi nouvelle, il est préférable d’employer une intégrale différente de celle que nous avons considérée jusqu’ici.

73. On satisfait à l’équation ${\frac {du}{dt}}=\mathrm {K} {\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}$ en supposant $u$ égale à $e^{-x}.e^{\mathrm {K} t}.$ Cette fonction de $x$ et $t$ peut être mise sous la forme d’une intégrale définie, ce qui se déduit très-facilement de la valeur connue de $\int dqe^{-q^{2}}.$ On a en effet

${\sqrt {\pi }}=\int dqe^{-q^{2}},$

lorsque l’intégrale est prise de

$q=-{\frac {1}{0}}\quad {\text{à}}\quad q={\frac {1}{0}}.$

On aura donc aussi

${\sqrt {\pi }}=\int dqe^{-(q+a)^{2}},$

$a$ étant une constante quelconque. De l’équation

${\sqrt {\pi }}=e^{-a^{2}}\int dqe^{-\left(q^{2}+2aq\right)},$

on conclut, en faisant $a^{2}=r,$

$e^{r}={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\int dqe^{-q^{2}}.e^{-2q{\sqrt {r}}},$

donc la valeur précédente de $u,$ ou $e^{-x}.e^{\mathrm {K} t},$ équivaut à