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représentant des quantités quelconques, lorsqu’on ajoute, membre à membre, les deux équations identiques

${\begin{aligned}u\mathrm {d} v+v\mathrm {d} u=&\mathrm {d} (uv),\\u\mathrm {d} v-v\mathrm {d} u=&u^{2}\mathrm {d} \left({\frac {v}{u}}\right),\end{aligned}}$

cette valeur est

$u\mathrm {d} v={\frac {1}{2}}\mathrm {d} (uv)+{\frac {1}{2}}u^{2}\mathrm {d} {\frac {v}{u}},$

et en faisant

$u=r^{k-1}(x-x'),\qquad v=r^{k}\mathrm {d} r,$

on en conclut

${\begin{aligned}r^{k-1}(x-x')\mathrm {d} '(r^{k}\mathrm {d} r)=&{\frac {1}{2}}\mathrm {d} '\left[r^{2k-1}(x-x')\mathrm {d} r\right]+\\{\frac {1}{2}}r^{2k-2}(x-x')^{2}\mathrm {d} '{\frac {r\mathrm {d} r}{x-x'}}=&{\frac {1}{2}}\mathrm {d} '{\frac {(x-x')\mathrm {d} r}{r^{n}}}+{\frac {1}{2}}.{\frac {(x-x')^{2}}{r^{n+1}}}\mathrm {d} '{\frac {r\mathrm {d} r}{x-x'}},\end{aligned}}$

puisque $2k+n=1,$ ce qui donne

$2k-1=-n,\qquad 2k-2=-n-1.$

Mais

$r^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2},$

et par conséquent

${\frac {r\mathrm {d} r}{x-x'}}=\mathrm {d} x+{\frac {y-y'}{x-x'}}\mathrm {d} y+{\frac {z-z'}{x-x'}}\mathrm {d} z,$

d’où

$\mathrm {d} '{\frac {r\mathrm {d} r}{x-x'}}={\frac {(z-z')\mathrm {d} x'-(x-x')\mathrm {d} z'}{(x-x')^{2}}}\mathrm {d} z-{\frac {(x-x')\mathrm {d} y'-(y-y')\mathrm {d} x'}{(x-x')^{2}}}\mathrm {d} y.$