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les intégrales définies prises entre des limites imaginaires, et remplaçant, à l’aide de ces formules, les sinus ou cosinus renfermés sous le signe $\int$ par des exponentielles dans lesquelles les parties variables des exposants sont négatives. Ajoutons que l’emploi des mêmes formules fournit le moyen de substituer, dans certains cas, à la série qui représente le développement d’une fonction une intégrale définie, et que cette substitution produit de nouvelles équations fort remarquables dont on peut se servir avec avantage dans les questions de physique mathématique.

Pour montrer une explication de ces principes, considérons la série

(1)

${\begin{aligned}\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +&2\int _{0}^{a}\cos .{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ).f(\mu )d\mu \\&+2\int _{0}^{a}\cos .{\frac {4\pi }{a}}(x-\mu ).f(\mu )d\mu +{\text{etc}}.\end{aligned}}$

Il est facile de reconnaître 1^o que la fonétion représentée par cette série ne varie pas, quand on fait croître ou diminuer $x$ d’un multiple de $a\,;$ 2^o que cette fonction, entre les limites $x=0,$ $x=a,$ est équivalente au produit $af(x).$ En effet, si l’on désigne par $\varepsilon$ un nombre infiniment petit, et si l’on pose $\theta =1-\varepsilon ,$ la série (1) pourra être remplacée par la suivante

$\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )d\mu +\theta \int _{0}^{a}e^{{\frac {4\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )d\mu +{\text{etc}}.$

$+\int _{0}^{a}e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )d\mu +\theta \int _{0}^{a}e^{-{\frac {4\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}f(\mu )d\mu +{\text{etc}}.$