6o4 DÉVELOPPEMENTS DES FONCTIONS
les intégrales définies prises entre des limites imaginaires ’f
et remplaçant, à l’aide de ces formules, les sinus ou cosinus
renfermés sous le signe~ par des exponentielles dans lesquelles les parties variables desexposants sont négatives. Ajoutons que l’emploi des mêmes formules fournit le moyen de
substituer, dans certains cas, à la série qui -représente le
développement d’une fonction une intégrale définie, et que
cette substitution produit de nouvelles équations fort remarl- ;
quables dont on peut se servir avec avantage dans les questions de physique mathématique.
Pour montrer une explication de ces principes, considé rons la série m ~<ï
(I) ~o f(Nld-f -i-2 ~o aCUS. 270 (~ ~o 470 ~E~J (N~dN-’f’BtC. f cos.–(~–~)~(~~+3/ cos.(~–(~)~.+etc. o 0, 0
Il est facile de reconnaître 1° que la fonction représentée
par cette série ne varie pas, quand on fait croître ou diminuer x d’un multiple de a ; 2° que cette fonction, entre les
limites est équivalente au produitaf(x). En
effet, si l’on désigne par un nombre infiniment petit et
si l’on pose 6 = – la série (i) pourra être remplacée par
la suivante
a a z-e (x, N) v-I a 4"(x’i 0.Î(i~)dN e a /’(f~+9/ e a. f-N)d(~’+etc. a ~x’-E~) v- I d’ r –~(~)~~T
+ J.. e x-p.,)dN ’+- 9 1 e "a x-p..Î~N~dN +etc. n.ln n
