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${\begin{aligned}&=\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}{1-\theta e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}{1-\theta e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}}f(\mu )d\mu \\&=\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}f(\mu )d\mu \\&=\int _{0}^{a}\left\{1+{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}+{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}\right\}f(\mu )d\mu .\end{aligned}}$

Or, $\theta$ étant très-rapproché de l’unité, et $x$ étant compris entre zéro et $a,$ l’expression

$1+{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}+{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}$

sera sensiblement nulle, excepté quand $\mu$ différera très-peu de $x.$ Par suite, la dernière des intégrales relatives à $\mu$ pourra être prise entre deux limites très-rapprochées de $x.$ Or, si l’on fait $\mu =x+\varepsilon w,$ et $\theta =1-\varepsilon ,$ cette intégrale sera réduite sensiblement à

$f(x)\int _{-{\frac {x}{2}}}^{\frac {a-x}{2}}\left\{{\frac {1}{1+{\frac {2\pi }{a}}w{\sqrt {-1}}}}+{\frac {1}{1-{\frac {2\pi }{a}}w{\sqrt {-1}}}}\right\}dw=a\,f(x).$

On aura donc, entre les limites $x=0,$ $x=a,$

(2)

${\begin{aligned}f(x)={\frac {1}{a}}\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +{\frac {2}{a}}\int _{0}^{a}\cos .{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ).f(\mu )d\mu \\\qquad \qquad \qquad +\int _{0}^{a}\cos .{\frac {4\pi }{a}}(x-\mu ).f(\mu )d\mu +{\text{etc}}.\end{aligned}}$