![{\displaystyle {\begin{aligned}&=\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}{1-\theta e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}{1-\theta e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}}}f(\mu )d\mu \\&=\int _{0}^{a}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}f(\mu )d\mu +\int _{0}^{a}{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}f(\mu )d\mu \\&=\int _{0}^{a}\left\{1+{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}+{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}\right\}f(\mu )d\mu .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99ab16c5fa7e1172eedfc4e9a86238c5370934f)
Or,
étant très-rapproché de l’unité, et
étant compris entre zéro et
l’expression
![{\displaystyle 1+{\frac {1}{e^{-{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}+{\frac {1}{e^{{\frac {2\pi }{a}}(x-\mu ){\sqrt {-1}}}-\theta }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45a6d4dfa9f808ef5562d374b4ae374cdfd12a5c)
sera sensiblement nulle, excepté quand
différera très-peu de
Par suite, la dernière des intégrales relatives à
pourra être prise entre deux limites très-rapprochées de
Or, si l’on fait
et
cette intégrale sera réduite sensiblement à
![{\displaystyle f(x)\int _{-{\frac {x}{2}}}^{\frac {a-x}{2}}\left\{{\frac {1}{1+{\frac {2\pi }{a}}w{\sqrt {-1}}}}+{\frac {1}{1-{\frac {2\pi }{a}}w{\sqrt {-1}}}}\right\}dw=a\,f(x).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81b0c93897f7f1138887e76e155c15faa4672717)
On aura donc, entre les limites
![{\displaystyle x=a,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8bd9ee1cb067c03634dd0eb7806a1fd412d3b887)
(2)
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