désigne alors par
les valeurs de
nous aurons
et par suite
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} _{3}&=-\mathrm {K} \left(1+{\frac {du}{dx}}\right)-k\left(3{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right),\\\mathrm {Q} _{3}&=-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}-k\left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right),\\\mathrm {R} _{3}&=-\mathrm {K} {\frac {dw}{dx}}-k\left({\frac {dw}{dx}}+{\frac {du}{dz}}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/635b00e85fb07473aee2d02632fb3f94adc07305)
En comparant ces valeurs particulières aux expressions générales de
on en conclura
![{\displaystyle \left.{\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} &=\mathrm {P} _{1}c''&&+\mathrm {P} _{2}c'&&+\mathrm {P} _{3}c,\\\mathrm {Q} &=\mathrm {Q} _{1}c''&&+\mathrm {Q} _{2}c'&&+\mathrm {Q} _{3}c,\\\mathrm {R} &=\mathrm {R} _{1}c''&&+\mathrm {R} _{2}c'&&+\mathrm {R} _{3}c\,;\end{alignedat}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8bc2fb0eed734980b69e811eb3f6fb111b8b4d0)
(2)
résultats que nous pouvons vérifier de la manière suivante.
Concevons, dans l’intérieur du corps avant son changement de forme, un tétraèdre dont le point
soit un sommet, et dont les trois faces adjacentes soient parallèles aux plans des coordonnées
Désignons l’aire de cette quatrième face par
et supposons-la, comme plus haut, assez petite pour que l’action du corps, après le changement de forme, ne varie pas sensiblement dans toute son étendue. Soit alors
les composantes de l’action exercée sur le tétraèdre par la partie du corps contiguë à cette quatrième face, lesquelles forces seront respectivement parallèles aux axes des
et dirigées dans le sens des coordonnées positives ; élevons, de dedans en dehors, sur cette quatrième face du tétraèdre, une normale qui fera avec les axes des
des angles dont les cosinus seront respectivement