Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/639

désigne alors par $\mathrm {P_{3},Q_{3},R_{3}} ,$ les valeurs de $\mathrm {P,Q,R} ,$ nous aurons $c=1,\,c'=0,\,c''=0,$ et par suite

${\begin{aligned}\mathrm {P} _{3}&=-\mathrm {K} \left(1+{\frac {du}{dx}}\right)-k\left(3{\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}\right),\\\mathrm {Q} _{3}&=-\mathrm {K} {\frac {dv}{dx}}-k\left({\frac {dv}{dx}}+{\frac {du}{dy}}\right),\\\mathrm {R} _{3}&=-\mathrm {K} {\frac {dw}{dx}}-k\left({\frac {dw}{dx}}+{\frac {du}{dz}}\right).\end{aligned}}$

En comparant ces valeurs particulières aux expressions générales de $\mathrm {P,Q,R} ,$ on en conclura

$\left.{\begin{alignedat}{3}\mathrm {P} &=\mathrm {P} _{1}c''&&+\mathrm {P} _{2}c'&&+\mathrm {P} _{3}c,\\\mathrm {Q} &=\mathrm {Q} _{1}c''&&+\mathrm {Q} _{2}c'&&+\mathrm {Q} _{3}c,\\\mathrm {R} &=\mathrm {R} _{1}c''&&+\mathrm {R} _{2}c'&&+\mathrm {R} _{3}c\,;\end{alignedat}}\right\}\quad$(2)

résultats que nous pouvons vérifier de la manière suivante.

Concevons, dans l’intérieur du corps avant son changement de forme, un tétraèdre dont le point $\mathrm {M}$ soit un sommet, et dont les trois faces adjacentes soient parallèles aux plans des coordonnées $x,y,z.$ Désignons l’aire de cette quatrième face par $\omega ,$ et supposons-la, comme plus haut, assez petite pour que l’action du corps, après le changement de forme, ne varie pas sensiblement dans toute son étendue. Soit alors $\omega \mathrm {P} ',\omega \mathrm {Q} ',\omega \mathrm {R} ',$ les composantes de l’action exercée sur le tétraèdre par la partie du corps contiguë à cette quatrième face, lesquelles forces seront respectivement parallèles aux axes des $x,y,z,$ et dirigées dans le sens des coordonnées positives ; élevons, de dedans en dehors, sur cette quatrième face du tétraèdre, une normale qui fera avec les axes des $x,y,z,$ des angles dont les cosinus seront respectivement $c,c',c''.$