il en résultera
![{\displaystyle u={\frac {d\varphi }{dx}},\qquad v={\frac {d\varphi }{dy}},\qquad w={\frac {d\varphi }{dz}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/934c162192ced204db8f8212f35d1a5a6f2caa6c)
par conséquent l’exemple que nous prenons rentrera dans le cas particulier auquel s’applique l’équation (7). Nous supposerons nulles les forces
ce qui rendra la quantité II indépendante de
ce sera une fonction inconnue de
que nous représenterons par
et à cause que
est une fonction de
et
l’équation (7) deviendra
![{\displaystyle \mathrm {T} r={\frac {d^{2}.r\varphi }{dt^{2}}}+a^{2}{\frac {d^{2}.r\varphi }{dr^{2}}}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73020110e5578bb66dfcab9aed815c25743114c5)
(1)
On connaît son intégrale sous forme finie, qui contient deux fonctions arbitraires, l’une de
et l’autre de
d’où l’on peut conclure, comme dans la théorie du son, qu’un ébranlement circonscrit dans une petite étendue autour de l’origine du rayon
se propagera dans l’intérieur d’un corps élastique avec une vitesse constante et égale à
ou à
mais pour déterminer les vibrations d’une sphère dont le rayon a une longueur déterminée, il nous sera plus commode d’employer sous une autre forme l’intégrale complète de l’équation (1).
Quelle que soit la fonction
on peut la représenter par
![{\displaystyle \mathrm {T} =\sum (\mathrm {C} \cos .mt+\mathrm {C} '\sin .mt)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0a8f6931fe0f5c970f9989ee954d773ad1a32f2b)
étant des constantes indéterminées, et la somme
s’étendant à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de ces trois quantités. Si l’on fait ensuite
![{\displaystyle r\varphi =\varpi -\sum {\frac {r}{m^{2}}}(\mathrm {C} \cos .mt+\mathrm {C} '\sin .mt),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/603799a0e39c1efb5ce5f4f714606b2fca767a95)