Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/684

perpendiculaire à cette surface, ou tangente à la corde, et dirigée de dehors en dedans par rapport à la portion de corde qui reçoit son action. Elle est ici rapportée à l’unité de surface ; par conséquent sa valeur pour la section entière de la corde sera $\mathrm {T} \omega .$ Cette force $\mathrm {T} \omega ,$ prise en sens contraire de sa direction, est ce qu’on appelle ordinairement la tension de la corde en chacun de ses points.

Pour la comparer à l’extension ou à la contraction qu’elle produit, selon qu’elle est positive ou négative, prenons un point $\mathrm {M} '$ très-voisin de $\mathrm {M} ,$ dont les coordonnées primitives soient $x+x',\,y+y',\,z+z'\,;$ désignons par $\sigma$ la distance primitive de $\mathrm {M} '$ à $\mathrm {M} \,;$ et supposons qu’après le déplacement de ces deux points, leur distance devienne $\sigma +\sigma \delta ,$ de sorte que $\delta$ soit la dilatation de la ligne $\mathrm {MM} '.$ En représentant comme dans le § I^er, par $u,v,w,$ les déplacements du point $\mathrm {M} ,$ et par $u',v',w',$ ceux du point $\mathrm {M} '\,;$ négligeant les carrés et les produits de $u'-u,\,v'-v,\,w'-v,$ ainsi que le carré de $\delta ,$ on aura

$\sigma \delta =(u'-u){\frac {x'}{\sigma }}+(v'-v){\frac {y'}{\sigma }}+(w'-w){\frac {z'}{\sigma }}\,;$

si l’on néglige de même les carrés et les produits de $x',y',z',$ on aura en même temps

${\begin{alignedat}{3}u'-u&={\frac {du}{dx}}x'&&+{\frac {du}{dy}}y'&&+{\frac {du}{dz}}z',\\v'-v&={\frac {dv}{dx}}x'&&+{\frac {dv}{dy}}y'&&+{\frac {dv}{dz}}z',\\w'-w&={\frac {dw}{dx}}x'&&+{\frac {dw}{dy}}y'&&+{\frac {dw}{dz}}z'\,;\end{alignedat}}$

enfin, si l’on suppose que la distance $\sigma$ devienne infiniment