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complètes de $u$ et $\mathrm {T}$ seront alors :

$u={\frac {\alpha x}{l}}+\theta ,\qquad \mathrm {T} =-{\frac {5k\alpha }{2l}}-{\frac {5k}{2}}{\frac {d\theta }{dx}}\,;$

mais nous supposerons que le second terme de $\mathrm {T}$ soit constamment très-petit par rapport au premier ; et après avoir substitué cette valeur de $\mathrm {T}$ dans les équations du mouvement, nous négligerons les termes qui dépendront à la fois de $\theta$ et de $y$ ou $z.$ De cette manière, ces équations deviendront

${\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=b^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=b^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\quad$(5)

en faisant, pour abréger

${\frac {5k}{2\rho }}=a^{2},\qquad {\frac {a^{2}\alpha }{l}}=b^{2}.$

Si l’on représente par $g$ la gravité, par $p$ le poids de la corde entière, et, comme dans le n^o 25, par $\varpi$ le poids qui a produit l’allongement $\alpha ,$ on aura

$p=g\,\rho \,\omega \,l,\qquad {\frac {5k\alpha }{2l}}={\frac {\varpi }{\omega }}\,;$

d’où l’on conclut

$b^{2}={\frac {g\,l\,\varpi }{p}}\,;$

expression qui ne contient plus que les données les plus simples de chaque cas particulier.

(29) La solution du problème des cordes vibrantes est comprise dans les équations (5), auxquelles il faut joindre les équations relatives aux deux extrémités. Comme on les a supposées fixes et qu’on a pris l’une d’elles pour l’origine de la variable $x,$ on aura