complètes de
et
seront alors :
![{\displaystyle u={\frac {\alpha x}{l}}+\theta ,\qquad \mathrm {T} =-{\frac {5k\alpha }{2l}}-{\frac {5k}{2}}{\frac {d\theta }{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59dd0ef1ad888815ea9ea98c1ad938f67e2b34d1)
mais nous supposerons que le second terme de
soit constamment très-petit par rapport au premier ; et après avoir substitué cette valeur de
dans les équations du mouvement, nous négligerons les termes qui dépendront à la fois de
et de
ou
De cette manière, ces équations deviendront
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=a^{2}{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}},\quad {\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=b^{2}{\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\quad {\frac {d^{2}z}{dt^{2}}}=b^{2}{\frac {d^{2}z}{dx^{2}}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a7c75c8cf003bfd074453bcb32350777fd8b8929)
(5)
en faisant, pour abréger
![{\displaystyle {\frac {5k}{2\rho }}=a^{2},\qquad {\frac {a^{2}\alpha }{l}}=b^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a035a29de0f615f8e988cac2e510803706f75535)
Si l’on représente par
la gravité, par
le poids de la corde entière, et, comme dans le no 25, par
le poids qui a produit l’allongement
on aura
![{\displaystyle p=g\,\rho \,\omega \,l,\qquad {\frac {5k\alpha }{2l}}={\frac {\varpi }{\omega }}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/241b96c71295b020f91532204561d602448462b7)
d’où l’on conclut
![{\displaystyle b^{2}={\frac {g\,l\,\varpi }{p}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6fcebe3ef40fb0f1bba82958b3dbfb38d025c159)
expression qui ne contient plus que les données les plus simples de chaque cas particulier.
(29) La solution du problème des cordes vibrantes est comprise dans les équations (5), auxquelles il faut joindre les équations relatives aux deux extrémités. Comme on les a supposées fixes et qu’on a pris l’une d’elles pour l’origine de la variable
on aura