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${\begin{aligned}\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\mathrm {Y} '\rho \,rdr\,d\theta =&\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}rdr\,d\theta ,\\\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }\mathrm {Z} '\rho \,rdr\,d\theta =&\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\varepsilon }{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}rdr\,d\theta \,;\end{aligned}}$

et ce sont ces deux formules que nous emploierons à leur place

(40) Je développe, comme il vient d’être dit, les quantités $\mathrm {Y',Z',P_{1},P_{2}} ,$ suivant les puissances et les produits de $\eta$ et $\zeta \,;$ je mets pour ces variables, leurs valeurs $r\cos .\theta$ et $r\sin .\theta \,;$ j’effectue les intégrations, et en négligeant ensuite la quatrième puissance de $\varepsilon ,$ il vient

${\begin{aligned}\mathrm {Y} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {d\mathrm {P} _{2}}{dx}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\eta ^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{2}}{dxd\zeta ^{2}}}\right),\\\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}\right)&={\frac {d\mathrm {P} _{1}}{dx}}+{\frac {\varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\eta ^{2}}}+{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{1}}{dxd\zeta ^{2}}}\right)\,;\end{aligned}}$

équations dans lesquelles on fera $\eta =0,$ $\zeta =0,$ après les différentiations, et où l’on représente par $\mathrm {Y}$ et $\mathrm {Z}$ ce que deviennent alors $\mathrm {Y} '$ et $\mathrm {Z} '.$

Je développe de même la première équation (3). Son premier membre formera une série ordonnée suivant les puissances de $\varepsilon ,$ dont les différents termes renfermeront les puissances et les produits de $\sin .\theta$ et $\cos .\theta .$ Comme elle devra subsister pour toutes les valeurs de $\theta ,$ il faudra égaler séparément à zéro la somme des coefficients de chaque puissance et de chaque produit de $\sin .\theta$ et $\cos .\theta \,;$ or, en s’arrêtant au carré de $\varepsilon$ inclusivement, on aura sept espèces de termes qui dépendront de $\sin .\theta ,\,\cos .\theta ,$ $\sin .^{2}\theta ,\,\cos .^{2}\theta ,$ $\sin .\theta \cos .\theta ,$ $\sin .\theta \cos .^{2}\theta ,\,\cos .\theta \sin .^{2}\theta ,$ après qu’on aura remplacé $\sin .^{2}\theta$ et