![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\mathrm {Y} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\eta }}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{3}}{dx^{2}d\eta }},\\\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\zeta }}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{3}}{dx^{2}d\zeta }}.\end{aligned}}\right\}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/76d8148828815084837e605c742498a7ca2c4f4a)
(10)
Il ne restera plus qu’à mettre dans ces nouvelles équations à la place de
et
leurs valeurs relatives à
et
calculées en négligeant tous les termes dépendants de ![{\displaystyle \varepsilon .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5807913813d5188ce49b63a9b26d43f7a7763c19)
(41) Pour les obtenir, je développe les premiers membres des trois équations (3) suivant les puissances de
puis j’égale séparément à zéro dans chacune d’elles, les coefficients de
Il en résulte quinze équations qui se réduisent à quatorze quand on néglige le carré de
parce qu’alors l’équation
se présente deux fois. Ces quatorze équations sont celles-ci :
![{\displaystyle \mathrm {P} _{1}=0,\quad \mathrm {P} _{2}=0,\quad \mathrm {Q} _{1}=0,\quad \mathrm {Q} _{2}=0,\quad \mathrm {R} _{1}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb68194bf6229e7dbf77ab976bda71dd767273d)
![{\displaystyle {\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}=&0,\qquad &{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\eta }}=&0,\qquad &{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}=&0,\\{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta }}=&0,\\{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\eta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}=&0,\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/907be54c954a3df5dfc205cfe166b73931491b59)
dans lesquelles on fera
après les différentiations. Pour ces valeurs de
et
et quelle que soit celle de
on a par hypothèse
on a donc aussi
![{\displaystyle {\frac {du'}{dx}}=0,\qquad {\frac {dv'}{dx}}={\frac {dy}{dx}},\qquad {\frac {dw'}{dx}}={\frac {dz}{dx}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7db89be30d498c2d055bc960376b7afd88f9c6c)
au moyen de quoi, si l’on substitue dans les équations précédentes les valeurs de
données par les formules (1), on en déduira ensuite :