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$\left.{\begin{aligned}\mathrm {Y} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Y} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\eta }}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{3}}{dx^{2}d\eta }},\\\mathrm {Z} _{\rho }+{\frac {\varepsilon ^{2}\rho }{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\eta ^{2}}}+{\frac {d^{2}\mathrm {Z} '}{d\zeta ^{2}}}+2{\frac {d^{2}\mathrm {X} '}{dxd\zeta }}\right)&={\frac {\varepsilon ^{2}}{4}}{\frac {d^{3}\mathrm {P} _{3}}{dx^{2}d\zeta }}.\end{aligned}}\right\}\quad$(10)

Il ne restera plus qu’à mettre dans ces nouvelles équations à la place de ${\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\eta }}$ et ${\frac {d\mathrm {P} _{3}}{d\zeta }},$ leurs valeurs relatives à $\eta =0$ et $\zeta =0,$ calculées en négligeant tous les termes dépendants de $\varepsilon .$

(41) Pour les obtenir, je développe les premiers membres des trois équations (3) suivant les puissances de $\varepsilon ,$ puis j’égale séparément à zéro dans chacune d’elles, les coefficients de $\sin .\theta ,\,\cos .\theta ,$ $\sin .^{2}\theta ,\,\cos .^{2}\theta ,$ $\sin .\theta \cos .\theta .$ Il en résulte quinze équations qui se réduisent à quatorze quand on néglige le carré de $\varepsilon ^{2},$ parce qu’alors l’équation $\mathrm {Q} _{1}=0$ se présente deux fois. Ces quatorze équations sont celles-ci :

$\mathrm {P} _{1}=0,\quad \mathrm {P} _{2}=0,\quad \mathrm {Q} _{1}=0,\quad \mathrm {Q} _{2}=0,\quad \mathrm {R} _{1}=0,$

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\zeta }}=&0,\qquad &{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\eta }}=&0,\qquad &{\frac {d\mathrm {P} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {P} _{2}}{d\zeta }}=&0,\\{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\eta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{2}}{d\zeta }}=&0,\\{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\zeta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\eta }}=&0,&{\frac {d\mathrm {R} _{1}}{d\eta }}+{\frac {d\mathrm {Q} _{1}}{d\zeta }}=&0,\end{alignedat}}$

dans lesquelles on fera $\eta =0,$ $\zeta =0,$ après les différentiations. Pour ces valeurs de $\eta$ et $\zeta ,$ et quelle que soit celle de $x,$ on a par hypothèse $u'=0,$ $v'=y,$ $w'=z\,;$ on a donc aussi

${\frac {du'}{dx}}=0,\qquad {\frac {dv'}{dx}}={\frac {dy}{dx}},\qquad {\frac {dw'}{dx}}={\frac {dz}{dx}}\,;$

au moyen de quoi, si l’on substitue dans les équations précédentes les valeurs de $\mathrm {P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2},R_{1}} ,$ données par les formules (1), on en déduira ensuite :