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${\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}=&{\frac {3\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {7k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}=&{\frac {3\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {7k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {3k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {3k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\,;\end{alignedat}}$

et il ne restera qu’à substituer ces six valeurs dans celles de $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V} .$

Désignons par $\mathrm {U} _{1}$ et $\mathrm {V} _{1}$ les résultantes de ces forces dans toute l’étendue de la section normale de la verge, de sorte que nous ayons

$\mathrm {U} _{1}=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {U} rdr\,d\theta ,\qquad \mathrm {V} _{1}=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {V} rdr\,d\theta \,;$

en mettant pour $\mathrm {U}$ et $\mathrm {V}$ leurs valeurs, et effectuant les intégrations, on trouve :

$\mathrm {U} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}-3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}\right),\qquad \mathrm {V} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}-3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\right)\,;$

par conséquent, nous aurons

$\mathrm {U} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-2\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}\right),\qquad \mathrm {V} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}-2\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right).$

La somme des moments de ces mêmes forces par rapport à l’axe de la verge est nulle, car elle serait exprimée par l’intégrale :

$\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }(\eta \mathrm {V} -\zeta \mathrm {U} )rdr\,d\theta ,$

qui est égale à zéro.

(44) Il nous sera facile maintenant de former les équations