![{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},\qquad &{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}=&{\frac {3\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {7k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}},&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}=&{\frac {3\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {7k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},\\{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta d\zeta }}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}-{\frac {3k}{4}}{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}},&{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta d\zeta }}=&{\frac {\rho }{4}}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}-{\frac {3k}{4}}{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}\,;\end{alignedat}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aaed2b1951b5cd4d20e2f8eb794fe946e3fb3c21)
et il ne restera qu’à substituer ces six valeurs dans celles de
et ![{\displaystyle \mathrm {V} .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220df887894e07aac76a143d9bb430374c41c0cc)
Désignons par
et
les résultantes de ces forces dans toute l’étendue de la section normale de la verge, de sorte que nous ayons
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {U} rdr\,d\theta ,\qquad \mathrm {V} _{1}=\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\mathrm {V} rdr\,d\theta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af4c4664183950c38c2bfbcd1473a826a98b770e)
en mettant pour
et
leurs valeurs, et effectuant les intégrations, on trouve :
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\zeta ^{2}}}-3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{2}}{d\eta ^{2}}}\right),\qquad \mathrm {V} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left({\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\eta ^{2}}}-3{\frac {d^{2}\mathrm {P} _{1}}{d\zeta ^{2}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/628bee30203ca005eec04d0427edb464dc199039)
par conséquent, nous aurons
![{\displaystyle \mathrm {U} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{3}y}{dx^{3}}}-2\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}\right),\qquad \mathrm {V} _{1}={\frac {\omega \varepsilon ^{2}}{8}}\left(5k{\frac {d^{3}z}{dx^{3}}}-2\rho {\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7086d652ea29c4f3accef6393c6085e5f49829ba)
La somme des moments de ces mêmes forces par rapport à l’axe de la verge est nulle, car elle serait exprimée par l’intégrale :
![{\displaystyle \int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }(\eta \mathrm {V} -\zeta \mathrm {U} )rdr\,d\theta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e79571322209213258703da91471a9c7ff6b5092)
qui est égale à zéro.
(44) Il nous sera facile maintenant de former les équations