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d’après cela, les équations précédentes deviennent

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{l}(x\mathrm {Y} '-\eta \mathrm {X} ')\rho \,rdr\,d\theta \,dx+(l+h)\mathrm {H} -g\mathrm {G} =0,\\&\int _{0}^{\varepsilon }\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{l}(x\mathrm {Z} '-\zeta \mathrm {X} ')\rho \,rdr\,d\theta \,dx+(l+h)\mathrm {H'} -g\mathrm {G'} =0\,;\end{aligned}}$

et elles expriment évidemment que les sommes des moments de toutes les forces appliquées à la verge sont égales à zéro, ces moments étant pris par rapport aux axes même des $y$ et des $z,$ c’est-à-dire, par rapport à deux droites rectangulaires, menées par l’extrémité de l’axe de la verge qui répond à $x=0.$

(46) Les équations (14) et (15) conviennent à l’équilibre et au mouvement de la verge ; mais dans le cas du mouvement, il y faut faire

$\mathrm {X} '=-{\frac {d^{2}u'}{dt^{2}}},$

en supposant, comme plus haut (n^o 41), qu’aucune force donnée n’agît sur les points de la verge, et y supprimer les termes dépendants de $\mathrm {H,H',G,G'} ,$ si cette supposition s’étend à ses deux extrémités. En vertu des équations (11) et (13), nous aurons :

${\begin{alignedat}{3}{\frac {d\mathrm {X} '}{d\eta }}&=-{\frac {d^{3}u'}{dt^{2}d\eta }}&&={\frac {d^{3}y}{dt^{2}dx}}&&=-b^{2}{\frac {d^{5}y}{dx^{5}}},\\{\frac {d\mathrm {X} '}{d\zeta }}&=-{\frac {d^{3}u'}{dt^{2}d\zeta }}&&={\frac {d^{3}z}{dt^{2}dx}}&&=-b^{2}{\frac {d^{5}z}{dx^{5}}}\,;\end{alignedat}}$

quantités qu’on pourra négliger dans les formules (14) et (15), à cause que le coefficient $b^{2}$ renferme le facteur $\varepsilon ^{2}\,;$ par conséquent ces formules ne contiendront plus que les termes dépendants des différentielles secondes et troisièmes de $y$ et $z$ par rapport à $x.$