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dans laquelle les caractéristiques $\sum$ indiquent des sommes qui s’étendent à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de $m$ et des huit arbitraires. De plus, cette valeur de $y$ sera l’intégrale complète de l’équation (a), présentée sous la forme qui convient le mieux au calcul des vibrations transversales de la verge, ou à la solution du problème qui nous occupe.

Si on la substitue dans les équations (b) qui ont lieu pour toutes les valeurs de $t,$ et si, en conséquence, on égale séparément à zéro, le coefficient de chaque terme des sommes $\sum ,$ on aura

${\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dx^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dx^{3}}}=0,$

pour $x=0$ et $x=l\,;$ d’où l’on conclura, en mettant pour $\mathrm {P}$ et $\mathrm {Q}$ leurs valeurs,

$\mathrm {B'=A',\qquad B=A,\qquad D'=C',\qquad D=C} ,$

${\begin{aligned}\mathrm {A} \;\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)&=\mathrm {A} '\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {A} '\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)&=\mathrm {A} \;\left(2\cos .ml-e^{-ml}-e^{ml}\right),\\\mathrm {C} \;\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)&=\mathrm {C} '\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {C} '\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)&=\mathrm {C} \;\left(2\cos .ml-e^{ml}-e^{-ml}\right).\end{aligned}}$

En exprimant les huit coefficients $\mathrm {A,A'} ,$ etc., au moyen de deux nouvelles quantités $\mathrm {E}$ et $\mathrm {E} '$ qui resteront indéterminées, on tirera de là :