dans laquelle les caractéristiques
indiquent des sommes qui s’étendent à toutes les valeurs possibles, réelles ou imaginaires, de
et des huit arbitraires. De plus, cette valeur de
sera l’intégrale complète de l’équation (a), présentée sous la forme qui convient le mieux au calcul des vibrations transversales de la verge, ou à la solution du problème qui nous occupe.
Si on la substitue dans les équations (b) qui ont lieu pour toutes les valeurs de
et si, en conséquence, on égale séparément à zéro, le coefficient de chaque terme des sommes
on aura
![{\displaystyle {\frac {d^{2}\mathrm {P} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {P} }{dx^{3}}}=0,\qquad {\frac {d^{2}\mathrm {Q} }{dx^{2}}}=0,\qquad {\frac {d^{3}\mathrm {Q} }{dx^{3}}}=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dfc50488cba74f1510d17bcc738f545f510ddf6e)
pour
et
d’où l’on conclura, en mettant pour
et
leurs valeurs,
![{\displaystyle \mathrm {B'=A',\qquad B=A,\qquad D'=C',\qquad D=C} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74da3a7d6bea5c0dfe4daf33ed5fbb423dae3529)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {A} \;\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)&=\mathrm {A} '\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {A} '\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)&=\mathrm {A} \;\left(2\cos .ml-e^{-ml}-e^{ml}\right),\\\mathrm {C} \;\left(2\sin .ml-e^{ml}+e^{-ml}\right)&=\mathrm {C} '\left(e^{ml}+e^{-ml}-2\cos .ml\right),\\\mathrm {C} '\left(2\sin .ml+e^{ml}-e^{-ml}\right)&=\mathrm {C} \;\left(2\cos .ml-e^{ml}-e^{-ml}\right).\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eee3078b246acc837f982cce653dec3f1403a29d)
En exprimant les huit coefficients
etc., au moyen de deux nouvelles quantités
et
qui resteront indéterminées, on tirera de là :