Les différents sons d’une verge dépendront des valeurs de
si l’on désigne par
et
des valeurs numériques de
tirées respectivement des équations
et
et par
et
les durées correspondantes de chaque vibration entière, on aura
![{\displaystyle \tau ={\frac {2\pi l^{2}}{\lambda ^{2}b}}={\frac {4\pi l^{2}}{\lambda ^{2}\varepsilon }}{\sqrt {\frac {2\rho }{5k}}},\qquad \tau '={\frac {2\pi l^{2}}{\lambda '^{2}b}}={\frac {4\pi l^{2}}{\lambda '^{2}\varepsilon }}{\sqrt {\frac {2\rho }{5k}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6aaa3ce850822903adb9d7dc5767ea8195a46ae)
les nombres de vibrations dans chaque unité de temps seront
et
par conséquent, pour deux verges de la même matière dont les extrémités sont aussi dans le même état, les sons d’un même rang, mesurés par ces nombres, seront en raison directe des diamètres et inverse des carrés des longueurs.
Pour obtenir les valeurs de
et
je désigne par
un nombre entier ou zéro, et je fais
![{\displaystyle ml=\lambda ={\frac {1}{2}}(2i+1)\pi \mp \delta ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3cb34b684215f0e3a6828eb0192f3551dc940f0)
dans l’équation
et
![{\displaystyle ml=\lambda '={\frac {1}{2}}(2i+1)\pi \pm \delta ',}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90e108702a7b0f455477425f83091877a80c2744)
dans l’équation
Je prends les signes supérieurs ou inférieurs devant les nouvelles inconnues
et
selon que
est un nombre pair ou un nombre impair ; et de cette manière, il vient
![{\displaystyle {\begin{aligned}\sin .\delta \;&={\frac {2}{e^{{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\mp \delta }+e^{-{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\pm \delta }}},\\\sin .\delta '&={\frac {2}{e^{{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\pm \delta '}+e^{-{\frac {1}{2}}(2i+1)\pi }e^{\mp \delta '}}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ee845ac2b4797557dd95dff696a2a35e045f2ed)