Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/752

on tire de là :

$\delta ={\frac {(u'-u)x'+(v'-v)y'}{r^{2}}}\,;$

si l’on néglige de même les carrés et le produit de $x'$ et $y',$ on a

$u'-u={\frac {du}{dx}}x'+{\frac {du}{dy}}y',\qquad v'-v={\frac {dv}{dx}}x'+{\frac {dv}{dy}}y'\,;$

on aura donc

$\delta ={\frac {du}{dx}}{\frac {x'^{2}}{r^{2}}}+\left({\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}\right){\frac {x'y'}{r^{2}}}+{\frac {dv}{dy}}{\frac {y'^{2}}{r^{2}}}.$

Or, les conditions $\mathrm {P} _{2}=0$ et $\mathrm {P_{3}=Q_{2}} ,$ donnent

${\frac {du}{dy}}+{\frac {dv}{dx}}=0,\qquad {\frac {du}{dx}}={\frac {dv}{dy}}\,;$

ce qui réduit la formule précédente à

$\delta ={\frac {1}{2}}\left({\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}\right)\,;$

quantité qui ne dépend que des coordonnées $x$ et $y$ de $\mathrm {M} ,$ et nullement de la direction de $\mathrm {MM} '.$ On voit réciproquement que dans tous les points où l’une des deux conditions que nous avons posées, ne sera pas remplie, la dilatation \delta ne sera pas la même en tous sens.

(55) Le cas le plus simple auquel on puisse appliquer les formules du n^o 53, est celui où l’on suppose les forces $\mathrm {X}$ et $\mathrm {Y}$ nulles dans toute l’étendue de la membrane, ce qui réduit d’abord les l’équations (5) à celles-ci :

$\left.{\begin{aligned}3{\frac {d^{2}u}{dy^{2}}}&+5{\frac {d^{2}v}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=0,\\3{\frac {d^{2}v}{dx^{2}}}&+5{\frac {d^{2}u}{dxdy}}+8{\frac {d^{2}v}{dy^{2}}}=0,\end{aligned}}\right\}\quad$(7)