Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 8.djvu/846

discussion de ces valeurs est facile, mais elle n’appartient pas à la question actuelle.

Si maintenant on applique le théorème dont il s’agit, au cas où la fonction que l’on veut représenter est $\varpi -x$ dans l’intervalle de $0$ à $\varpi ,$ on trouve ${\frac {\varpi -x}{\varpi }}=2\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}},$ en appliquant le même théorème (5) à la fonction $x,$ on trouve $x=2\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\cos .(i\varpi ),$ série qui était connue depuis longtemps. Il est donc certain, comme on l’a énoncé plus haut, qu’en faisant $t=0$ dans l’expression de $\mathrm {V} _{t}$ donnée par l’équation (1), les termes qui contiennent $f'0$ et $\varphi '0$ disparaissent et qu’il ne reste que la quantité ${\frac {2}{\varpi }}\sum {\frac {\sin .(ix)}{i}}\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ix),$ qui, suivant le même théorème, équivaut à $\psi x\,;$ donc l’état initial du solide est représenté par la valeur de $\mathrm {V} _{0}$ de l’équation (4).

Quant aux conditions relatives aux extrémités, elles subsistent pour toutes les valeurs de $t\,:$ car si l’on fait $x=\varpi$ dans l’expression $\mathrm {V} _{t}$ elle devient égale à $ft,$ quelle que soit la valeur de $t,$ et lorsque $x=0$ elle devient $\varphi t.$ Donc l’expression de $\mathrm {V} _{t}$ représentera les températures variables du solide pendant toute la durée du phénomène ; puisqu’elle convient à l’état initial, aux conditions des extrémités et à l’équation différentielle.

(4)

Énoncé des trois questions partielles dont on réunit les solutions.

Après avoir démontré la vérité de cette solution, il nous