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deux extrémités. Il suffit donc de résoudre chacune des trois questions et d’ajouter les résultats. Or la solution de la première est connue, je l’ai donnée pour la première fois dans mes Recherches sur la Théorie de la chaleur lues et déposées à l’Institut de France, le 21 décembre 1807, en désignant par \psi x le système des températures initiales du solide, et par $v$ la température après le temps écoulé $t$ en un point dont la distance à l’origine $o$ est $x,$ on a cette expression

$(6)\qquad v={\frac {2}{\varpi }}\sum e^{-i^{2}t}\sin .(ix)\int _{0}^{\varpi }dr\psi r\sin .(ir).$

Nous passons à l’examen de la seconde question.

(5)

Température variable à l’extrémité du solide. On résout la question en déterminant sous le signe $\sum$ une fonction inconnue.

Pour résoudre la seconde question, c’est-à-dire pour trouver l’expression de la température variable d’un point quelconque du prisme, lorsque la première extrémité $o$ est assujétie à la température fixe zéro, et la seconde extrémité $\varpi$ à la température variable $ft,$ on considérera d’abord le cas très-simple où la température de la seconde extrémité est elle-même fixe mais différente de zéro. Dans ce cas l’état final du système est tel que les températures qui subsisteraient après un temps infini croissent comme les ordonnées d’une ligne droite, depuis la première extrémité jusqu’à la seconde. Nous avons démontré ce lemme dans l’Introduction à la Théorie de la chaleur ; c’est l’état invariable vers lequel le système converge de plus en plus. Il est ainsi exprimé $v={\frac {bx}{\varpi }}.$ ce